Kezdőlap


Feladat:	237. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csúcs Mária
Füzet:	1955/május, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/december: 237. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Egyenletünk így is írható

\begin{matrix} - \frac{3}{6 x - 1} = \frac{2}{6 x + 1} - \frac{8 + 9 x}{(6 x + 1) (6 x - 1)} . \end{matrix}

Feltéve, hogy

x \neq \frac{1}{6}

x \neq - \frac{1}{6}

\begin{matrix} - 3 (6 z + 1) = 2 (6 x - 1) - 8 - 9 x, \end{matrix}

rendezve

\begin{matrix} - 21 x = - 7, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} . \end{matrix}

Ellenőrzés: A baloldal

\begin{matrix} \frac{3}{1 - 6 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{3}{1 - 2} = \frac{3}{- 1} = - 3. \end{matrix}

A jobboldal

\begin{matrix} \frac{2}{6 \cdot \frac{1}{3} + 1} - \frac{8 + 9 \cdot \frac{1}{3}}{36 \cdot \frac{1}{9} - 1} = \frac{2}{2 + 1} - \frac{8 + 3}{4 - 1} = \frac{2}{3} - \frac{11}{3} = - \frac{9}{3} = - 3. \end{matrix}

Tehát a kapott gyök tényleg kielégíti egyenletünket.
b) Feltéve, hogy

z \neq 1

z \neq - 1

, és tekintetbe véve, hogy

1 - z^{2} = (1 + z) (1 - z)

, egyenletünk így is írható

\begin{matrix} 3 (1 + z) (1 - z) = 2 {(1 - z)}^{2} - 5 {(1 + z)}^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 3 - 3 z^{2} = 2 - 4 z + 2 z^{2} - 5 - 10 z - 5 z^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 14 z = - 6, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} z = - \frac{6}{14} = - \frac{3}{7} . \end{matrix}

Próba:
Baloldal:

\begin{matrix} \frac{3}{1 - \frac{9}{49}} = \frac{3 \cdot 49}{49 - 9} = \frac{147}{40} . \end{matrix}

Jobboldal:

\begin{matrix} \frac{2}{{(\frac{4}{7})}^{2}} - \frac{5}{{(\frac{10}{7})}^{2}} = \frac{2 \cdot 49}{16} - \frac{5 \cdot 49}{100} = \frac{49}{8} - \frac{49}{20} = \\ = \frac{5 \cdot 49 - 2 \cdot 49}{40} = \frac{3 \cdot 49}{40} = \frac{147}{40} . \end{matrix}

Tehát a nyert gyök tényleg eleget tesz egyenletünknek.

Csúcs Mária (Mohács, Kisfaludy g. I. o. t.)