Kezdőlap


Feladat:	235. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mercz László
Füzet:	1955/április, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/november: 235. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kerékpárok számát $x$ -szel, az autók, ill. a szekerek számát pedig $y$ -nal, ill. $z$ -vel.
A feladat értelmében

\begin{matrix} x + y = 3 z, & (1) \\ 3 x + 5 y = 100. & (2) \end{matrix}

E határozatlan egyenletrendszernek keressük pozitív egész megoldásait.
(1) 3-szorosát kivonva (2)-ből, nyerjük

\begin{matrix} 2 y = 100 - 9 z . \end{matrix}

Mivel a baloldal páros, azért a jobboldalon

z

csak páros lehet. Legyen

\begin{matrix} z = 2 t > 0, \end{matrix}

(3)

akkor

\begin{matrix} y = 50 - 9 t > 0, \end{matrix}

(4)

és így

\begin{matrix} x = 3 z - y = 6 t - 50 + 9 t = 15 t - 50 > 0. \end{matrix}

(5)

(5) magába foglalja (3)-at, (4)-ből és (5)-ből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{50}{15} = 3 \frac{1}{3} < t < \frac{50}{9} = 5 \frac{5}{9}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} t = 4vagy5. \\ t = 4 & esetén, & x = 10, & y = 14, & z = 8; \\ t = 5 & << & x = 25, & y = 5, & z = 10. \end{matrix}

Mercz László (Pannonhalma, Benczés g. I. o. t.)