Kezdőlap


Feladat:	233. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ádám A. , Csapody M. , Dobrovolszky A. , Gáti Gy. , Gerőfy Klára , Hoffmann Gy. , Jókuti F. , Kozma T. , Makkai Mihály , Molnár I. , Pak To Ha , Papp K. , Pogány E. , Rétey Piroska , Rockenbauer A. , Ruppenthal P. , Schipp F. , Soós T. , Stáhl J. , Surányi Gy. , Szatmári Z. , Ujhelyi Szabolcs , Veér A.
Füzet:	1955/április, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/november: 233. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a $B C$ oldal felezőpontja $F$ . Nem megy az általánosság rovására, ha a $P$ pontot a $B F$ szakaszon vesszük fel. (A $P \equiv B$ esetet a 161. sz. gyakorlatban már letárgyaltuk, a $P \equiv F$ esetet külön fogjuk tárgyalni.)
Az $F$ ponton át a $P A$ egyenessel húzott párhuzamos messe az $A C$ oldalt a $P_{1}$ pontban, a $P_{1}$ -en át $B C$ -vel húzott párhuzamos pedig az $A B$ oldalt a $P_{2}$ pontban. (1., 2., és 3. ábra.)
A $P P_{1}$ szakasz felezi a háromszög területét, mert

\begin{matrix} t_{C P P_{1}} = t_{C F P_{1}} + t_{F P_{1} P} = t_{C F P_{1}} + t_{F P_{1} A} = t_{C F A} = \frac{1}{2} t_{A B C} . \end{matrix}

(1)

A keresett

R

pont szerkesztése szempontjából 3 esetet kell megkülönböztetni: 1.

Q

B F P_{1} P_{2}

négyszög, 2.

Q

F C P_{1} ▵

, 3.

Q

A P_{1} P_{2} ▵

belsejében van. (A határesetekre külön kitérünk.)

1. ábra

1. esetben (1. ábra) a

P

ponton át

P_{1} Q

egyenessel húzott párhuzamos egyenes metszi ki

A C

szakaszból a keresett

R

pontot.

P_{1} Q

félegyenes két határhelyzete

P_{1} F

és

P_{1} P_{2}

. A

P_{1} Q

egyenessel párhuzamos

P R

egyenesek határhelyzetei nyilván az előbbi határhelyzetekkel párhuzamos

P A

és

P C

egyenesek, amiből következik, hogy

R

mindig

A

és

C

közé esik.
(1) figyelembevételével

\begin{matrix} t_{P Q R C} = t_{C P R} + t_{P R Q} = t_{C P R} + t_{{P R P}_{1}} = t_{{C P P}_{1}} = \frac{1}{2} t_{A B C} . \end{matrix}

2. ábra

2. esetben (2. ábra) a

P

ponton át a

P_{1} Q

egyenessel húzott párhuzamos az

A C

oldalt a meghosszabbításán metszi egy

R'

pontban, mely közelebb van

A

-hoz, mint

C

-hez.

t_{P Q R' C}

most is egyenlő

\frac{1}{2} t_{A B C}

. Ugyanis

\begin{matrix} t_{P Q R' C} = t_{P_{1} C P Q} + t_{P_{1} Q R'} = t_{P_{1} C P Q} + t_{P_{1} Q P} = t_{C P P_{1}} . \end{matrix}

(2)

Ha az

R'

pontot a

Q A

egyenessel párhuzamosan eltoljuk az

A B

oldalra, akkor megkapjuk az

R

pontot, mégpedig mindig az

A B

szakaszon. Ugyanis

P_{1} Q

határhelyzetei

P_{1} F

és

P_{1} C

, és így a

P_{1} Q

egyenessel párhuzamos

P R'

szükségképpen az

A B

szakaszon fekvő

T

pontban metszi az

A B

egyenest. Mivel

P_{1} Q A ∢

és

T R' R ∢

váltószögek, azért az

R

szükségképpen a

T A

szakaszon van.

\begin{matrix} t_{R A C P Q} = t_{P Q A C} + t_{A Q R} = t_{P Q A C} + t_{A Q R'} = t_{P Q R' C}, \end{matrix}

amely utóbbi terület (2) alapján egyenlő

\frac{1}{2} t_{A B C}

3. ábra

3. esetben (3. ábra) a

P

ponton át

P_{1} Q

egyenessel húzott párhuzamos az

A C

egyenest olyan

R'

pontban metszi, mely szintén az

A C

meghosszabbításán fekszik, de most közelebb

C

-hez, mint

A

-hoz. (

P Q R' C

most hurkolt négyszög.)

\begin{matrix} i_{Q P_{1} C P} = t_{C P P_{1}} + t_{Q P_{1} P} = t_{C P P_{1}} + t_{Q P_{1} R} . \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} t_{Q P_{1} R'} = t_{Q P_{1} C} + t_{Q C R'} . \end{matrix}

(4)

R

ponton át

Q C

-vel húzott párhuzamos metszi a

B C

szakaszt az

R

pontban, tehát

t_{Q C R'} = t_{Q C R}

, és így (4) alapján

\begin{matrix} t_{Q P_{1} R'} = t_{Q P_{1} C} + t_{Q C R} = t_{Q P_{1} C R} . \end{matrix}

t_{Q P_{1} R'}

ezen értékét (3)-ba helyettesítve

\begin{matrix} t_{Q P_{1} C P} = t_{C P P_{1}} + t_{Q P_{1} C R}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} t_{Q P_{1} C P} - t_{Q P_{1} C R} = t_{P Q R} = t_{C P P_{1}} = \frac{1}{2} t_{A B C} . \end{matrix}

4. A határesetekben, midőn

Q

F P_{1}

, ill.

P_{1} P_{2}

szakaszokon van, akkor az

R

pont ‐ az előbbiek alapján ‐ az

A

, ill.

C

pontba kerül.
5. Hátra van még az az eset, midőn

P \equiv F

. Ez esetben

P_{1} = P_{2} = A

, és az

R

pont, az 1. esetben alkalmazott szerkesztéssel, az

A C

, ill.

A B

oldalra kerül, aszerint, amint

Q

pont az

A F B ▵

, ill.

A F C ▵

belsejében van.
6. A legspeciálisabb eset

P \equiv F

és

Q

rajta van az

A F

súlyvonalon. Ez esetben

R \equiv A

és a

P Q R

tört vonal az

F A

súlyvonallá fajul.
Amint látjuk az 1., 2. és 5. esetben a törtvonal a háromszöget egy négyszögre és egy ötszögre, a 3. esetben egy háromszögre és egy hatszögre, a 4. esetben két négyszögre, ill. egy háromszögre és egy ötszögre, míg a 6. esetben két háromszögre bontja.

Makkai Mihály (Bp. V., Eötvös g. II. o. t.)