Kezdőlap


Feladat:	231. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csapody Miklós , Katona Marianna , Soós Tibor
Füzet:	1955/április, 106 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek grafikus megoldása, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Együttes munkára vonatkozó feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/november: 231. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a keresett távolság $x$ méter. Feltételezve, hogy az asszony mindenkor ugyanazzal az egyenletes sebességgel haladt, az első alkalommal minden 1 méteres úton $\frac{1}{2} : x = \frac{1}{2 x}$ vödörnyi víz, a második alkalommal méterenként $\frac{2}{3 x}$ vödörnyi víz folyt ki. A harmadik alkalommal tehát eleinte $\frac{1}{2 x} + \frac{2}{3 x} = \frac{7}{6 x}$ vödörnyi víz ömlött ki ugyancsak méterenként, de ez csak addig tartott, amíg a vödörből a víz $\frac{3}{4}$ része ki nem folyt. Azután már csak az alsó lyukon ömlött ki a vödörnek $\frac{1}{4} - \frac{1}{40} = \frac{9}{40}$ -része. Ezek szerint a vödörben a víz színe $(\frac{3}{4} : \frac{7}{6 x} =) \frac{9 x}{14}$ méter megtétele után érte el az oldalsó lyukat, majd további $(\frac{9}{40} : \frac{2}{3 x} =) \frac{27 x}{80}$ méteren át folyt ki csak az alsó lyukon.
A feladat szerint e két távolság összege $1$ m híján az egész távolság, vagyis

\begin{matrix} \frac{9 x}{14} + \frac{27 x}{80} + 1 = x, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 360 x + 189 x + 560 = 560 x, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = \frac{560}{11} = 50 \frac{10}{11} \approx 50, 91 m \end{matrix}

Katona Marianna (Bp. VIII., Széchenyi közg. g. techn. II. o. t.)

II. megoldás. A feladat szerint a vödör

\frac{3}{4}

-része kifolyt az egész útnak

[\frac{3}{4} : (\frac{1}{2} + \frac{2}{3}) =] \frac{9}{14}

-része alatt. Az útnak megmaradt

\frac{5}{14}

-része alatt az alsó nyíláson kifolyt volna

\frac{5}{14} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{21}

-része a vödörnek, vagyis az egész úton a vödörnek

\frac{3}{4} + \frac{5}{21} = \frac{83}{84}

-része folyt volna ki.
De a konyha előtt 1 méterrel a víz

\frac{1}{40}

-része volt meg. Tehát az alsó lyukon 1 méteres úton a vödörnek

(\frac{1}{40} - \frac{1}{84} =) \frac{11}{840}

-része folyik ki, míg az egész,

x

méteres úton

\frac{2}{3}

-része. Tehát

\begin{matrix} x = \frac{2}{3} : \frac{11}{840} = \frac{2 \cdot 840}{3 \cdot 11} = \frac{560}{11} \approx 50, 91 mm . \end{matrix}

Csapody Miklós (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)

III. megoldás. A feladatot grafikusan is megoldhatjuk. A vízszintes tengelyen mérjük fel az asszony által megtett utat, a keresett

t

távolságot véve egységül; a függőleges tengelyre pedig mérjük fel a kifolyt vízmennyiséget 1 vödör vizet véve egységül. A betűzést az ábra mutatja.

A víz kifolyását az 1., 2., ill. 3. alkalommal az

O A_{1}

O A_{2}

, ill.

O A_{3}

egyenes ábrázolja (lásd ábrát). De a 3. útnál csak a veder

\frac{3}{4}

-része folyik ki mindkét lyukon, és a

B

ponttól kezdve már csak az alsó lyukon folyik ki a víz a

C

pontig. Tehát

B C ∥ {O A}_{2}

D C

párhuzamos a távolság tengelyével,

B D = \frac{9}{40} v

D C = t - O B' - 1

méter. Mivel a

\begin{matrix} B C D ▵ \sim {O A}_{2} A''_{2} ▵, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} D C : A''_{2} A_{2} = D B : A''_{2} O, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} D C : t = \frac{9}{40} v : \frac{2}{3} v, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} D C = \frac{27}{80} t \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} O B' : t = \frac{3}{4} v : \frac{7}{6} v, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} O B' = \frac{9 t}{14}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} D C = t - O B' - 1 = \frac{5 t}{14} - 1 méter . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} \frac{5 t}{14} - 1 = \frac{27}{80} t, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} t = \frac{560}{11} \approx 50, 91 méter . \end{matrix}

Soós Tibor (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.)