Kezdőlap


Feladat:	228. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Morelli Edit , Újváry-Menyhárt Zoltán
Füzet:	1955/április, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/október: 228. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A keresett szám jegyeit rendre $x$ , $y$ , $z$ -vel jelölve, a feladat szerint

\begin{matrix} \frac{100 x + 10 y + z - 16}{2} = 100 z + 10 y + x . & (1) \\ x + y + z = 20. & (2) \end{matrix}

(1)-et rendezve

\begin{matrix} 98 x - 10 y - 199 z = 16. \end{matrix}

(

1'

)

(2) 10-szeresét (

1'

)-hez adva

\begin{matrix} 108 x - 189 z = 216, \end{matrix}

27-tel egyszerűsítve

\begin{matrix} 4 x - 7 z = 8. \end{matrix}

Rögtön látható, hogy

z

-nek oszthatónak kell lennie

4

-gyel. Tehát

z = 4 u

, és így

x = \frac{8 + 7 z}{4} = \frac{8 + 28 u}{4} = 2 + 7 u

, továbbá

y = 20 - x - z = 20 - 2 - 7 u - 4 u = 18 - 11 u

.
Mivel

x

y

z

pozitív egyjegyű számok, csak

u = 1

felel meg, és így

\begin{matrix} x = 2 + 7 u = 9; y = 18 - 11 u = 7; z = 4 u = 4, \end{matrix}

vagyis a keresett szám 974.

Morelli Edit (Bp. III., Korvin Ottó-téri lg. I. o. t.)

II. megoldás: Legyen a 3-jegyű szám

\bar{a b c}

. A feladat szerint

\begin{matrix} \frac{\bar{a b c} - 16}{2} = \bar{c b a} & (3) \\ a + b + c = 20. & (4) \end{matrix}

(3)-ból következik, hogy vagy a)

\frac{a}{2} = c

, vagy b)

\frac{a - 1}{2} = c

. (4)-ből

a + c =

= 20 - b

, és így ‐ mivel

b \leq 9

, azért

\begin{matrix} a + c \geq 11. \end{matrix}

(5)

a = 2 c \leq 9

esetén (5) alapján

3 c \geq 11

, vagyis

c = 4

. Ekkor

a = 2 \cdot 4 = 8

, és

b = 20 - (4 + 8) = 8

. 884 azonban nem elégíti ki feltételeinket.
b)

a = 2 c + 1 \leq 9

, (5) alapján

3 c + 1 \geq 11

. Ismét csak

c = 4

felel meg.

a = 2 \cdot 4 + 1 = 9

b = 20 - (4 + 9) = 7

.
Tényleg 974 eleget tesz a követelményeknek.

Újvári-Menyhárt Zoltán (Bp., 3. sz. Magasép. ip. techn. I. o. t.)