Feladat: 226. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Árokszállási K. ,  Bácsy E. ,  Bartha Gyöngyi ,  Bartók K. ,  Behringer T. ,  Brickner L. ,  Csákvári I. ,  Cseleda I. ,  Csizmadia L. ,  Deák H. ,  Dobrovolszky A. ,  Fekete L. ,  Frivaldszky S. ,  Galambos J. ,  Gelencsér L. ,  Gerőfy Klára ,  Guba I. ,  Hoffer Judit ,  Jókuti F. ,  Jäger Júlia ,  Kim Hen Cse ,  Kozma T. ,  Major P. ,  Makkai M. ,  Marczin Gy. ,  Mercz L. ,  Molnár I. ,  Morelli Edit ,  Pak To Ha ,  Pakucs J. ,  Pogány E. ,  Rácz M. ,  Rockenbauer A. ,  Sarudi I. ,  Siklósi K. ,  Simók P. ,  Sin Edit ,  Stáhl J. ,  Szabadits Ö. ,  Szalkai L. ,  Szaniszló J. ,  Szilárd A. ,  Takács Á. ,  Tokaji J. ,  Tóth L. ,  Ujjady I. ,  Vassányi I. ,  Veér A. ,  Zádor M. 
Füzet: 1955/március, 70. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt háromszög, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1954/október: 226. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő azokat a háromszögeket vizsgálnunk, amelyeknek mindhárom csúcsa a paralelogramma kerületére esik. Ellenkező esetben a háromszöghöz hozzáírható olyan ‐ az eredetinél kisebb területű ‐ paralelogramma, amelynek oldalai a háromszög csúcsain mennek át.
a) A háromszög két csúcsa ugyanarra a paralelogramma-oldalra esik. A betűzést az 1. ábra mutatja.

 
 
1. ábra
 

Ha EF az AB oldalra esik, akkor elég azt az esetet tekinteni, amikor a harmadik csúcspont G a szemközti CD oldalon van, mert minden egyéb esetben az EF oldalhoz tartozó magasság kisebb az AB oldalhoz tartozó m paralelogramma-magasságnál. De ha G a CD oldalon van, akkor az EFG▵ az ABG▵ egy része és így ‐ a paralelogramma területét T-vel jelölve
tEFG≥tABG=AB⋅m2=T2.

Egyenlőség jele akkor érvényes, ha EF≡AB.
 

b) A háromszög csúcspontjai különböző oldalakon vannak (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

Ez esetben mindig van egy paralelogramma‐oldal (2. ábrában a BC), amelyen nincs háromszögcsúcs. Ezen oldallal szemközti oldalon fekvő E csúcspontot FG-vel párhuzamosan eltoljuk, amíg az eltolt E' nem kerül az AB (vagy CD) oldalra. (Ha FG∥AD, akkor E'≡A vagy E'≡D.) Az E'FG▵ területe természetesen megegyezik az EFG▵ területével; ezzel ezt az esetet visszavezettük az a) esetre.
 

Bartha Gyöngyi (Bp. VIII., Apáczai Csere J. g. II. o. t.)