Kezdőlap


Feladat:	225. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hank Zsombor , Heinemann Zoltán
Füzet:	1955/március, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/október: 225. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: a) A feladat szerint 1 nyúlugrás ideje alatt az agár $\frac{b}{a}$ ugrást tesz és 1 agárugrás $\frac{c}{d}$ nyúlugrásnak felel meg távolságban.
Tegyük fel, hogy az utolérésig a nyúl még $x$ ugrást tehet, akkor ugyanezen idő alatt az agár $y = x \cdot \frac{b}{a}$ ugrást tesz, ami (a fentiek szerint) $x \cdot \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{d}$ nyúlugrásnak felel meg távolságban.
A feladat szerint

\begin{matrix} n + x = \frac{b c x}{a} \end{matrix}

amiből, ha

b c - a d \neq 0

\begin{matrix} x = \frac{a d n}{b c - a d} nyúlugrás . \end{matrix}

A kutya ezalatt

\frac{b}{a} \cdot x = \frac{b d n}{b c - a d}

ugrást tesz.
Pl. az adott konkrét esetben

\begin{matrix} x = \frac{11 \cdot 5 \cdot 34}{8 \cdot 9 - 11 \cdot 5} = \frac{11 \cdot 5 \cdot 34}{17} = 110 nyúlugrás, \\ y = \frac{8}{11} \cdot 110 = 80 agárugrás . \end{matrix}

b) Ha a nyúlnak

n

agárugrás előnye van, akkor ez megfelel

\frac{c}{d} \cdot n

nyúlugrásnak. Tehát ismét

x

-szel jelölve a nyúlugrások számát az utolérésig, akkor az előbbiekben ezt az értéket kell

n

helyébe írni, és így ez esetben

\begin{matrix} x = \frac{a c n}{b c - a d} . \end{matrix}

A kutya ezalatt

\frac{b}{a} x = \frac{b c n}{b c - a d}

ugrást tesz.
Konkrét példánkban

\begin{matrix} \frac{11 \cdot 9 \cdot 34}{17} = 198, y = \frac{8}{11} \cdot 198 = 144. \end{matrix}

Taglalás: A feladat értelmében

a

b

c

d > 0

. Megoldás akkor és csakis akkor van, ha

b c - a d > 0

, vagyis

\frac{b}{d} > \frac{a}{c}

, ami a feladat nyelvén azt jelenti, hogy a kutya sebessége nagyobb, mint a nyúlé. Ha

b c - a d = 0

, akkor a két állat sebessége egyenlő, és üldözés közben a köztük levő távolság nem változik.

b c - a d < 0

esetén pedig

x

-re negatív érték adódik; a nyúl sebessége nagyobb mint az agáré, és így a nyúl egyre távolodik a kutyától.

Heinemann Zoltán (Pécs, Bányaip. techn. II. o. t.)

II. megoldás: Vegyük a nyúlugrást egységnek. Ekkor egy agárugrás egyenlő

\frac{c}{d}

nyúlugrással. Ezt

b

-vel szorozva megkapjuk, hogy

b

számú agárugrás hány nyúlugrásnak felel meg. Ebből

a

-t levonva megtudjuk, hogy

a

számú nyúlugrás alatt hány nyúlugrással közelednek egymáshoz. Tehát egy nyúlugrásra esik

(\frac{c b}{d} - a) : a

nyúlugrás közeledés. Ha az

n

nyúlugrás előnyt elosztjuk az egy nyúlugrásra eső közeledéssel, máris megkapjuk, hogy hány nyúlugrást tehet a nyúl az utolérésig:

\begin{matrix} x = \frac{n}{(\frac{c b}{d} - a) : a} = \frac{n a}{\frac{c b}{d} - a} = \frac{a d n}{b c - a d} \end{matrix}

stb., mint az I. megoldásban.

Hank Zsombor (Szolnok, Beloiannisz g. I. o. t.)