Feladat: 224. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ádám Antal ,  Bartha Gyöngyi ,  Behringer T. ,  Beregi P. ,  Csapody M. ,  Cserteg I. ,  Csillag A. ,  Frivaldszky S. ,  Fuchs P. ,  Gáti Gy. ,  Jókuti F. ,  Kozma Tibor ,  Makkai M. ,  Máté L. ,  Molnár J. ,  Nagy O. ,  Papp K. ,  Parlagh Gy. ,  Pogány Eörs ,  Rockenbauer A. ,  Ruppenthal P. ,  Soós T. ,  Stáhl J. ,  Szilárd A. ,  Újváry-Menyhárt Zoltán ,  Vámos A. ,  Wollner L. 
Füzet: 1955/március, 66 - 68. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Kör egyenlete, Pitagoraszi számhármasok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1954/október: 224. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mint ismeretes, az x2+y2=r2 egyenlet az r sugarú kör középponti egyenlete a derékszögű koordinátarendszerben. Legyen r racionális szám. Ha sikerül bebizonyítani, hogy a kör a sík végtelen sok olyan pontján megy át, melynek koordinátái racionális számok, a feladatot megoldottuk.

 
 

Rajzoljunk egy tetszőleges egyenest, mely az ordináta‐tengelyből r szakaszt metsz ki (lásd ábrát). Ezen egyenes egyenlete
y=mx+r,
ahol m az egyenes iránytangense.
Határozzuk meg a kör és ezen egyenes metszéspontjainak koordinátáit. E célból helyettesítsük be az y=mx+r értékét a kör egyenletébe:
x2+m2x2+2mrx+r2=r2,
amiből
x1=0,y1=r,
és
x2=-2mrm2+1,és ígyy2=-2m2r+r(m2+1)m2+1=-r(m2-1)m2+1.

x2 és y2 akkor lesz racionális, ha az iránytangens m racionális. m=tgα=-tg(180-α)=-rq. Tehát m racionális, ha q (az x tengelyből levágott szakasz hossza) racionális. Mivel pedig az x számegyenesen végtelen sok racionális abszcisszájú pont van, azért ilyen q, ehhez tartozó egyenes és metszéspont is végtelen sok van, amivel a tételt bebizonyítottuk.
 

Ádám Antal (Bp. VIII., Széchenyi g. II. o. t.)
 

II. megoldás: Pythagorasi számhármasnak nevezzük azokat a pozitív egész számokból álló számhármasokat, melyekre a
z2=x2+y2(1)
egyenlet teljesül.
Bizonyítható (lásd Számokról és alakzatokról  című szakköri füzetet), hogy ha az u és v egészek, relatív prímek, és egyikük páros, másikuk páratlan, akkor az
x=2uvy=u2-v2z=u2+v2
kifejezések segítségével végtelen sok, egymás között relatív prím x, y, z egész szám állítható elő, melyek az (1) egyenletet kielégítik.
Legyen a felbontandó szám t2, ahol t racionális szám. Szorozzuk meg (1)-et t2z2-tel
z2t2z2=x2t2z2+y2t2z2,
vagyis
t2=(xtz)2+(ytz)2.

Mivel t racionális és x, y, z egész, azért xtz és ytz is racionális. Ezzel t2-et felbontottuk végtelen sokféleképpen két racionális szám négyzetének összegére.
 

Kozma Tibor (Győr, Czuczor g. II. o. t.)
 

III. megoldás: Legyen a felbontandó racionális szám négyzete t2. Jelöljük az első racionális számot x-szel, a másodikat y-nal és írjuk az utóbbit y=ax-b alakban, ahol az a és b racionális paraméterek szabadon választhatók. Feladatunk értelmében
x2+(ax-b)2=t2,
vagyis
x2(a2+1)-2abx+b2=t2.

Egy másodfokú egyenlet gyökei általában nem racionálisok, de ha az általános tag 0, akkor az egyik gyök 0, a másik pedig egy elsőfokú egyenlet gyöke, és mint ilyen, mindig racionális.
Tehát ha b-t úgy választjuk meg, hogy b=t, akkor az
x(a2+1)-2at=0
elsőfokú egyenlethez jutunk, amely lényegében azonos az I. megoldásban nyert egyenlettel, de itt nem használtunk fel koordináta‐geometriát.
 

Pogány Eörs (Bp. XI., József Attila g. II. o. t.)
 

Megjegyzés: Igen sok megoldó jónak gondolta a következő rossz bizonyítást: Pythagoras tétele kimondja, hogy az átfogó négyzete egyenlő a befogók négyzetének összegével a derékszögű háromszögben. Thales tétele szerint viszont adott (jelen esetben racionális) c átmérő fölé rajzolt félkör bármely pontját összekötve az átmérő két végpontjával derékszögű háromszöget kapunk, tehát c2 végtelen sokszor bontható fel két racionális szám négyzetének összegére.
Itt természetesen az a hiba, hogy semmi sem biztosít minket arról, hogy a kapott derékszögű háromszögek közül akár csak egyetlenegynek is két befogója racionális számmal mérhető. Ezt külön be kellene bizonyítani. Így ez a megoldás   lényegében csak átfogalmazása a feladatnak.