Kezdőlap


Feladat:	223. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	B. Nagy O. , Beregi P. , Csapody M. , Fogarassy M. , Frivaldszky S. , Gáti Gy. , Jójárt Kornélia , Kengyel Vilma , Kim Hen Cse , Kozma T. , Kökény Ágnes , Makkai Mihály , Pásztor Katalin , Pogány E. , Rockenbauer A. , Siklósi K. , Soós T. , Stáhl J. , Szatmári Z. , Újváry-Menyhárt Zoltán , Wollner R.
Füzet:	1955/március, 65 - 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Osztók száma, Osztók összege, Prímszámok száma, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/október: 223. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a 10-nél kisebb törzsszámok (2, 3, 5, 7) száma 4, azért 10 és 105 között $27 - 4 = 23$ prímszám van:

\begin{matrix} 11 = p_{1} < p_{2} < ... < p_{23} < 105. \end{matrix}

Alkossuk a

210 - p_{i} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 - p_{i} (i = 1,2, ...,23)

-alakú számokat:

\begin{matrix} 199 = 210 - p_{1} > 210 - p_{2} > ... > 210 - p_{23} > 105. \end{matrix}

(1)

E számok vagy prímszámok, vagy tartalmaznak egy 7-nél nagyobb, de

\sqrt[]{210}

-nél kisebb törzstényezőt: 11-et vagy 13-at. Utóbbi számok a következők:

\begin{matrix} 11 \cdot 11 = 121 (= 210 - 89), \\ 11 \cdot 13 = 143 (= 210 - 67), \\ 11 \cdot 17 = 187 (= 210 - 23), \\ 13 \cdot 13 = 169 (= 210 - 41) . \end{matrix}

E négy szám összege:

121 + 143 + 187 + 169 = 620

.
Az (1) alatti többi 19 szám prímszám, mert a 2, 3, 5, 7, 11 és 13 törzsszámok egyikével sem lehetnek oszthatók. Másrészt e 19 számon kívül 105 és 200 között más prímszám nincs. Ugyanis ha

p

egy 105 és 200 közötti prímszám, akkor

2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 - p

egy 10 és 105 közötti szám, melynek egyik törzstényezője ‐ ha van ilyen ‐ nem nagyobb

7 (< \sqrt[]{105})

-nél, de ez ellentmond annak, hogy

p

105-nél nagyobb prímszám. Tehát

210 - p = p_{i}

és így

p = 210 - p_{i}

.
Tehát a 200-nál kisebb prímszámok száma:

\begin{matrix} 4 + 23 + 19 = 46. \end{matrix}

E 46 törzsszám összege ‐ mivel

p_{i} + 210 - p_{i} = 210 (i = 1,2, ...,23)

‐

\begin{matrix} 2 + 3 + 5 + 7 + 23 \cdot 210 - 620 = 17 + 4830 - 620 = 4227. \end{matrix}

Makkai Mihály (Bp. V., Eötvös g. II. o. t.)