Kezdőlap


Feladat:	216. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Danassy Károly , Mercz László
Füzet:	1955/február, 45 - 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/szeptember: 216. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Eredetileg volt $A$ -, $B$ -, $C$ -nél $x$ , $y$ , ill. $z$ golyó.
Az I. játszmát $A$ vesztette és a golyók száma rendre így alakult: $x - 2 y - 2 z$ , $3 y$ , $3 z$ .
A II. játszmát $B$ vesztette, és utána a következő volt a helyzet: $A$ -nál $3 x - 6 y - 6 z$ , $B$ -nél $3 y - (2 x - 4 y - 4 z + 6 z) = 7 y - 2 x - 2 z$ , $C$ -nél $9 z$ .
A III. játszmát $C$ vesztette és utána, volt $A$ -nál $9 x - 18 y - 18 z$ , $B$ -nél $21 y - 6 x - 6 z$ , és $C$ -nél $9 z - (6 x - 12 y - 12 z + 14 y - 4 x - 4 z) = 25 z - 2 x - 2 y$ számú golyó.
A feladat szerint

\begin{matrix} 9 x - 18 y - 18 z = 21 y - 6 x - 6 z, & (1) \\ 9 x - 18 y - 18 z = 25 z - 2 x - 2 y, & (2) \end{matrix}

és végül

\begin{matrix} x - 2 y - 2 z = 3 z - 54. \end{matrix}

(3)

Összevonva és rendezve

\begin{matrix} 15 x & - 39 y - 12 z = 0, & (4) \\ 11 x & - 16 y - 43 z = 0, & (5) \\ x & - 2 y - 5 z = - 54. & (6) \end{matrix}

(4) és (5)-hől levonva (6)

15

-szörösét, ill.

11

-szeresét

\begin{matrix} - & 9 y + 63 z = 810, & (7) \\ 6 y + 12 z = 594. & (8) \end{matrix}

Egyszerűsítve

\begin{matrix} - y + 7 z & = 90, & (7') \\ y + 2 z & = 99. & (8') \end{matrix}

'

) és (8

'

) összegezéséből

\begin{matrix} 9 z = 189, amiből z = 21, \end{matrix}

és így (8

'

)-ből

\begin{matrix} y = 99 - 2 \cdot 21 = 57, \end{matrix}

és (6)-ból

\begin{matrix} x = - 54 + 2 \cdot 57 + 5 \cdot 21 = - 54 + 114 + 105 = 165. \end{matrix}

Mercz László (Pannonhalma, Bencés g. I. o. t.)

II. megoldás: Fordított időrendben okoskodva egy ismeretlennel egyszerűbben érünk célhoz.
A III. játszma után mindegyik játékosnál

x

golyó volt.
A III. játszma előtt a golyók megoszlása

A

B

C

között:

\frac{x}{3}

\frac{x}{3}

\frac{7 x}{3}

.
A II. játszma előtt (melyet

B

vesztett)

A

-nál volt

\frac{x}{9}

C

-nél

\frac{7 x}{9}

, és így

B

-nél

\frac{x}{3} + \frac{2 x}{9} + \frac{14 x}{9} = \frac{19 x}{9}

.
Eredetileg (az

A

által vesztett I. játszma előtt) volt

B

-nél

\frac{19 x}{27}

C

-nél

\frac{7 x}{27}

és így

A

-nál

\frac{x}{9} + \frac{38 x}{27} + \frac{14 x}{27} = \frac{55 x}{27}

.
A feladat szerint

\begin{matrix} \frac{x}{9} = \frac{7 x}{9} - 54, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = 81. \end{matrix}

Eredetileg tehát

A

-nak

\frac{55 \cdot 81}{27} = 165

B

-nek

\frac{19 \cdot 81}{27} = 57

C

-nek

\frac{7 \cdot 81}{27} = 21

golyója volt.

Danassy Károly (Mosonmagyaróvár, Kossuth g. I. o. t.)