Feladat: 213. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Timár Béla 
Füzet: 1955/február, 42 - 43. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számkörök, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1954/szeptember: 213. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás:
1. b=1, mert az első részletszorzat cd⋅b=cd.
2. f=0, mert a második kivonásban c-f=c. 3. c≠0 a feltétel szerint d≠0, mert különben a második részletszorzat (df)0 volna. 4. A második részletszorzatból következik, hogy a c⋅d érték 0-ra végződő szám, és a maradék tízest c⋅c-hez hozzáadva egy egyjegyű számot kapunk (d)
Ennek alapján (mivel c=0, c=1 ki van zárva, és c>2 esetén c2+1 már kétjegyű) csak c=2 lehet.
5. Mivel, mint láttuk, cd=2d0-ra végződik, azért d csak 5 lehet. 6. Tehát az osztó 25, a hányados 125, és így az osztandó 125⋅25=3125.
A teljes osztást elvégezve:

  3125 : 25 = 125  256250125125
nyerjük, hogy a=3, és e=6.
 

Tímár Béla (Pannonhalma, Bencés g. II. o. t.)

 

II. megoldás: abcd¯=bcd¯⋅cd¯, azaz 1000a=bcd¯(cd¯-1). bcd¯ és cd¯-1 közül csak az egyik lehet 5-tel osztható, és csak az egyik lehet páros. Ez azt jelenti, hogy valamelyik tényező osztható 125-tel és valamelyik 8-cal. 125-tel csak abc¯ osztható, tehát bc¯25, 50 vagy 75 lehet (mivel b=c=0 ki van zárva). cd¯=50 nem lehet, mert akkor bcd¯ nem osztható 8-cal és cd¯-1 pedig páratlan. cd¯=75 sem felel meg, mert 74 nem osztható 8-cal. Így cd¯=25, bcd¯=125 vagy 625. Mivel 25⋅625 már ötjegyű, így bcd¯=125, abcd¯=25⋅125=3125, és az osztás elvégzésével megállapíthatók a további jegyek.