Kezdőlap


Feladat:	212. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánhidy K. , Bartha Gyöngyi , Benkő B. , Csák J. , Csapody M. , Csiszár I. , Daróczy Z. , Farkas L. , Fekete J. , Frank Gy. , Frivaldszky S. , Gáti J. , Guba I. , Győrösi P. , Harza T. , Hidas P. , Jakubovics J. , Kelemen P. , Kereszti I. , Kovács I. , Morelli Klára , Parlagh Gy. , Pölöskey I. , Rácz M. , Soós T. , Stein J. , Surán G. , Szabados J. , Szatmári Z. , Szeidl B. , Szilárd A. , Udvari A. , Vásárhelyi B. , Zaránd P. , Zsombok Zoltán
Füzet:	1955/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/május: 212. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A betűzést az 1. ábra mutatja.

1. ábra

Mivel mindenkor szükségképpen

a > m_{b}

, azért a második leszármaztatott háromszög mindig létezik, míg az első csak akkor, ha

m_{a} < 2 m_{b}

. Mivel a háromszög kétszeres területe

a m_{a} = b m_{b}

, azért

\frac{m_{a}}{m_{b}} = \frac{b}{a}

, és így az első leszármaztatott háromszög létezésének szükséges és elégséges feltétele, hogy

\frac{m_{a}}{m_{b}} = \frac{b}{a} < 2

, vagyis

b < 2 a

.
Egyenlőszárú háromszögek hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy a háromszögek alapjának és szárának aránya, megegyezzék.
a) A két leszármaztatott háromszög, tehát akkor hasonló egymáshoz, ha

\begin{matrix} m_{a} : m_{b} = m_{b} : a, \end{matrix}

másrészt azonban, mint láttuk

\begin{matrix} m_{a} : m_{b} = b : a, \end{matrix}

(1)

vagyis

\begin{matrix} m_{b} : a = b : a, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} m_{b} = b, \end{matrix}

vagyis az eredeti háromszög derékszögű (2. ábra).

2. ábra

b) Az első leszármaztatott háromszög hasonló az eredetihez, ha

\begin{matrix} m_{a} : m_{b} = a : b . \end{matrix}

Ezt ismét (1)-gyel egybevetve nyerjük

\begin{matrix} a : b = b : a, \end{matrix}

ebből

a = b

adódik. tehát az eredeti háromszög egyenlő oldalú.
A második háromszög hasonló az eredetihez, ha

\begin{matrix} m_{b} : a = a : b . \end{matrix}

(1) szerint az

a : b

arány helyett

m_{b} : m_{a}

-t írhatunk, és így

m_{a} = a

eredményre jutunk. Ez esetben tehát az eredeti háromszög alapja egyenlő az alaphoz tartozó magassággal (3. ábra).

3. ábra

Zsombok Zoltán (Bp. IV., Könyves Kálmán g. II. o, t.)