Kezdőlap


Feladat:	211. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benkő B. , Csák J. , Csiszár I. , Deres J. , Deseő Katalin , Forgó G. és I. , Györösi Péter , Harza Tibor , Jakubovics J. , Katz T. , Makkai M. , No Mjang Gi , Parlagh Gy. , Perneczky L. , Rázga T. , Soós T. , Surán G. , Szabados G. , Szeidl B. , Szilárd A. , Udvari A. , Zsombok Z.
Füzet:	1955/január, 13 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Transzverzálisok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/május: 211. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ismeretes, hogy a trapéz nem párhuzamos oldalainak metszéspontját az átlók metszéspontjával összekötő egyenes felezi a trapéz párhuzamos oldalait (II. o. tankönyv, 31. old.). Bizonyítandó tételünk ennek a tételnek megfordítása. Meg kell tehát vizsgálnunk, helyes-e a tétel megfordítása.
Húzzuk $P$ -n át $B C$ -vel párhuzamos egyenest és messe ez az egyenes $A B$ -t az $R$ pontban (1. ábra).

1. ábra

A trapézra érvényes fent említett direkt tétel szerint

R C

A

-ból kiinduló súlyvonalat ugyanabban az

M

pontban metszi, amelyben a

B P

transzverzális metszi a súlyvonalat. E szerint a

C M

egyenes, vagyis a

C

-ből kiinduló transzverzális egybeesik a

C R

egyenessel és így szükségképpen

R

egybeesik

Q

-val, de a szerkesztés szerint

P R | | B C

Harza Tibor (Székesfehérvár, József A. g. II. o. t.)

II. megoldás: Tükrözzük az

A B C ▵

-et a

B C

oldal

A_{1}

felezőpontjára nézve. A tükörképét

A'

-vel jelölve, nyerjük az

A B A' C

paralelogrammát (2. ábra).

2. ábra

Nyilvánvaló, hogy

\begin{matrix} A P : A M : A Q = A' B : A' M : A' C, \end{matrix}

azonkívül a

\begin{matrix} B A C ∢ = B A' C ∢, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} A P Q ▵ \sim A' B C ▵ . \end{matrix}

Két-két oldal párhuzamossága miatt a két hasonló háromszög perspektív fekvésű is (

M

a hasonlósági centrum), ezért szükségképpen a harmadik oldalak is párhuzamosak, vagyis

\begin{matrix} P Q | | B C . \end{matrix}

Györösi Péter (Bp. IV. Könyves Kálmán g. II. o. t.)

Megjegyzés: A feladat az

≫

Első Országos Középiskolás Matematika-Verseny

≪

kezdők csoportjában szerepelt. Lásd K. M. L. I. kötet l ‐ 2. számában (1947. nov.) a 15 ‐ 18. oldalon, ahol több érdekes megoldás és egy tovább mutató kiegészítés (affin-tükrözés) is található.