Kezdőlap


Feladat:	207. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám A. , Bartha Gyöngyi , Bayer J. , Beliczky T. , Benkő B. , Csák J. , Csapody M. , Csiszár I. , Daróczy Z. , Deres J. , Deseő Katalin , Farkas L. , Fekete J. , Forgó G. és I. , Frank Gy. , Frivaldsky S. , Györösi P. , Harza T. , Hidas P. , Jakubovics J. , Kelemen P. , Kovács István , Makkai M. , Morelli Klára , No Mjang Gi , Orlik P. , Pap Mária , Parlagh Gy. , Perneczky L. , Rácz M. , Rázga T. , Rudolf P. , Siklósi K. , Soós T. , Surán G. , Szabados J. , Szatmári Z. , Szeidl B. , Szilárd A. , Udvari A. , Ujhelyi Szabolcs , Varga Margit , Vásárhelyi B. , Závody A. , Zsombok Z.
Füzet:	1955/január, 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/május: 207. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hozzuk minél egyszerűbb alakra mindhárom egyenlet közös baloldalát

\begin{matrix} \frac{{\frac{x + 2}{x - 2} (x - 4 + \frac{4}{x}) - \frac{\sqrt[]{3} \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{3} - (\sqrt[]{3} - 1)}} \frac{1}{\sqrt[]{x} + 2}}{\frac{1}{\sqrt[]{x}} - \frac{2}{x}} = \\ = \frac{\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x} 3}{\frac{\sqrt[]{x} - 2}{x} \cdot (\sqrt[]{x} + 2)} = \frac{x (x + 2) {(x - 2)}^{2} - 3 x^{2} (x - 2)}{x (x - 2) (x - 4)} = \\ = \frac{x (x - 2) [(x^{2} - 4) - 3 x]}{x (x - 2) (x - 4)} = \frac{x (x - 2) (x - 4) (x + 1)}{x (x - 2) (x - 4)} . \end{matrix}

Feltéve tehát, hogy

x \neq 0, 2, 4

a baloldal:

x + 1

. (1)
a)

\begin{matrix} x + 1 = 7 (x - 1) - x^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{2} - 6 x - 8 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} ∣ x_{1} = 4 ∣, ∣ x_{2} = 2 ∣ . \end{matrix}

Mivel

x

e két értékét (1) alatt kizártuk, azért az a) alatti egyenletünknek nincs megoldása.
b)

\begin{matrix} x + 1 = x (10 - x) - 7, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{2} - 9 x + 8 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x_{1} = 8, x_{2} = 1. \end{matrix}

Mindkét gyök megoldása egyenletünknek.
c)

\begin{matrix} x + 1 = x (7 - x) + 1, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{2} - 6 x = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} ∣ x_{1} = 0 ∣, x_{2} = 6. \end{matrix}

Csak az

x_{2} = 6

megoldása egyenletünknek, mert az

x_{1} = 0

értéket

(1)

alatt kizártuk.

Kovács István (Kecskemét, Ságvári szakéretts. koll.)