Kezdőlap


Feladat:	201. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács István
Füzet:	1954/december, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Exponenciális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/április: 201. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletünk így is írható

\begin{matrix} 2^{3} \cdot 2^{10 x + 4 y - 496} - 9 \cdot 2^{5 x + 12 y - 248} + 1 = 0. \end{matrix}

Legyen

2^{5 x + 12 y - 248} = p

, akkor

\begin{matrix} 8 p^{2} - 9 p + 1 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} p_{1} = 1 = 2^{0}, és p_{2} = \frac{1}{8} = 2^{- 3} . \end{matrix}

Tehát vagy

\begin{matrix} 5 x + 12 y - 248 = 0 \end{matrix}

(1)

vagy

\begin{matrix} 5 x + 12 y - 248 = - 3 \end{matrix}

(2)

Határozzuk meg az (1) alatti határozatlan egyenlet egész megoldását.

\begin{matrix} x = \frac{248 - 12 y}{5} = 49 - 2 y + \frac{3 - 2 y}{5} = 49 - 2 y + t, \\ y = \frac{3 - 5 t}{2} = 1 - 2 t + \frac{1 - t}{2} = 1 - 2 t + u . \\ t = 1 - 2 u . \end{matrix}

Visszahelyettesítve

\begin{matrix} x = 1 - 2 + 4 u + u = 5 u - 1, \\ y = 49 - 10 u + 2 + 1 - 2 u = 52 - 12 u . \end{matrix}

Tehát

x + y = 51 - 7 u

, és a feladat szerint (

0

-t is természetes számnak tekintve)

\begin{matrix} 0 ≦ 5 u - 1 0 ≦ 52 - 12 u és 40 < 51 - 7 u \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{1}{5} ≦ u u ≦ \frac{13}{3} és u ≦ \frac{11}{7} . \end{matrix}

E három egyenlőtlenségnek csak

u = 1

tesz eleget, tehát

\begin{matrix} x_{1} = 5 - 1 = 4, és y_{1} = 52 - 12 = 40 \end{matrix}

egy megoldás.
A (2) alatti

\begin{matrix} 5 x + 12 y - 245 = 0. \end{matrix}

egyenletből nyerjük, hasonlóképpen, hogy

\begin{matrix} x = 49 - 12 u ≧ 0, \\ y = 5 u ≧ 0, \\ x + y = 49 - 7 u > 40. \end{matrix}

E három egyenlőtlenségből rendre

\begin{matrix} u ≦ \frac{49}{12}, u ≧ 0 u < \frac{9}{7}, \end{matrix}

amely egyenlőtlenségeknek

u = 0

, és

u = 1

tesz eleget.
Tehát további két megoldás:

\begin{matrix} x_{2} = 49, y_{2} = 0; \end{matrix}

és

\begin{matrix} x_{3} = 47 - 19 = 37, y_{3} = 5. \end{matrix}

Kovács István (Kecskemét, Ságvári szakéretts. koll.)