Feladat: 199. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kovács István ,  Poór István 
Füzet: 1954/december, 139 - 140. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1954/április: 199. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha a gépek száma x. akkor a feladat szerint Cx2=x(x-1)2=10, amiből az egyetlen pozitív megoldás x=5.
Tehát 5 gépünk van, amelyeken rendre

x1<x2<x3<x4<x5
munkadarabot gyártanak óránként.
A 2-2 gépen előállított munkadarabok száma növekedő sorrendben:
30,32,35,36,39,40,41,44,46,49.(1)

Nyilvánvaló, hogy szükségképpen
x1+x2=30(1)x1+x3=32(2)x4+x5=49(3)x3+x5=46(4)



Nyilvánvaló továbbá. hogy
(x1+x2)+(x1+x3)+(x1+x4)+(x1+x5)+(x2+x3)+(x2+x4)++(x2+x5)+(x3+x4)+(x3+x5)+(x4+x5)=392,


ahol a 392 a (I) alatti 10 szám összege.
Tehát
4(x1+x2+x3+x4+x5)=392,
vagyis
x1+x2+x3+x4+x5=98.(5)

Az (1), (2), (3), (4), (5) ötismeretlenű egyenletrendszerből adódik:
x1=13,x2=17,x3=19,x4=22,x5=27.

Próbával meggyőződünk, hogy ezek az értékek tényleg kielégítik a feladat feltételeit.
 

Kovács István (Kecskemét, Ságvári szakéretts. koll.)

 

II. megoldás: 2‐2 gép teljesítményének összegét megadó tíz számnak (1) alatti sorozatában 4 páratlan és 6 páros számot találunk, ami azt jelenti, hogy az öt gép teljesítménye közül 1 páros (ill. páratlan) és 4 páratlan (ill. páros). Minden egyéb feltevés a párosságot illetőleg, ellentmond a (1) sorozat fentemlített tulajdonságának, amiről rövid meggondolás után meggyőződhetünk.
Jelöljük az 5 gép teljesítményét x, y, z, u és v-vel és legyen x a többi 4-től különböző párosságú, akkor
x+y=35amibőly=35-x(1)x+z=39≫z=39-x(2)x+u=41≫u=41-x(3)x+v=49≫v=49-x(4)

A többi 6 kombináció összege
(y+z)+(y+u)+(y+v)+(z+u)+(z+v)+(u+v)=30+32+36++40+44+46=228,


tehát
3(y+z+u+v)=228,
ahonnan
y+z+u+v=76(5)

Ha (1), (2), (3),(4) értékeit rendre (5)-be helyettesítjük, nyerjük
164-4x=76,
amiből
x=22,
és így
y=35-22=13,z=39-22=17,u=41-22=19,ésv=49-22=27.
Poór István (Kecskemét, Katona J. g. II. o. t.)