Kezdőlap


Feladat:	197. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bánhidy Kálmán , Nagy József
Füzet:	1954/december, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/április: 197. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mindenképpen fennáll, hogy

\begin{matrix} 0 ≦ {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}, \end{matrix}

ahol az egyenlőség jele csak

a = b

esetén érvényes.
Mindkét oldalhoz

a b

-t adva

\begin{matrix} a b < a^{2} - a b + b^{2} . \end{matrix}

Mivel a feladat szerint

a + b > 0

, azért mindkét oldalt

(a + b)

-vel szorozva

\begin{matrix} (a + b) a b ≦ (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) . \end{matrix}

Tagokra bontva

\begin{matrix} a^{2} b + a b^{2} ≦ a^{3} + b^{3}, \end{matrix}

ami bizonyítandó volt, feltéve, hogy

a > 0

b > 0

Megjegyzés: A fordított út is követhető, de mindenkor rá kell mutatni, hogy egyértelműen megfordítható átalakításokat végeztünk.

Bánhidy Kálmán (Debrecen, Ref. g. II. o. t.)

II. megoldás: Egyenlőtlenségünk így is írható

\begin{matrix} a^{2} b - a^{3} ≦ b^{3} - a b^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a^{2} (b - a) ≦ b^{2} (b - a), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 0 ≦ (b^{2} - a^{2}) (b - a) . \end{matrix}

Mivel a feladat szerint

a > 0

b > 0

, azért

b ≷ a

maga után vonja, hogy

b^{2} ≷ a^{2}

, és így a jobboldal két tényezőjének előjele mindig egyezik, vagyis szorzatuk pozitív. Egyenlőség csak

b = a

esetén.

Nagy József (Kecskemét, Katona J. g. II. o. t.)