Kezdőlap


Feladat:	196. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Behringer T. , Csapody M. , Csiszár I. , Forgó G. , Forgó I. , Frank Gy. , Győrősi P. , Hidas P. , Jakubovits J. , Katz T. , Kelemen P. , Kereszti I. , Makkai M. , Orlik P. , Parlagh Gy. , Rázga T. , Réti S. , Siklósi K. , Surán G. , Zsombok Zoltán
Füzet:	1954/december, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Klasszikus valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/március: 196. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Egy-egy kísérletnél $a$ , $b$ , és $c$ lehetséges értékeinek száma $V_{9}^{3} = 9 \cdot 8 \cdot 7$ .
A két gyök egyenlő, ha a diszkrimináns $0$ , azaz $b^{2} = 4 a c$ . $b$ tehát csak páros szám lehet, és mivel $a$ , $b$ , $c$ egymástól különböző számok, próbálgatással hamar megállapíthatjuk, hogy csak $b = 6$ , $a = 1$ , $9$ és $c = 9$ , $1$ felel meg.
A kedvező esetek száma tehát $2$ , és így annak valószínűsége, hogy egy kísérletnél a két gyök egyenlő

\begin{matrix} v_{a} = \frac{2}{9 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{1}{252} . \end{matrix}

Annak valószínűsége, hogy

10

kísérlet közül a

2

gyök egyszer sem egyenlő

\begin{matrix} {(1 - v_{0})}^{10} = {(\frac{251}{252})}^{10}, \end{matrix}

és így a keresett valószínűség

\begin{matrix} V_{a} = 1 - {(\frac{251}{252})}^{10} \approx 0,039 \end{matrix}

b) Ismeretes, hogy a két gyök szorzata

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

.
Véges számú tizedesjegyből álló tizedes törttel kifejezhetők azok a törtszámok, amelyeknek nevezői

2

-n és

5

-ön kívül más törzstényezőt nem tartalmaznak.
Jelen esetben tehát csak az

a = 2,4,5,8

értékek kerülnek számításba valamint (az egyszerűsítés lehetősége miatt) az

a = 6

érték, feltéve, hogy

c = 3

(c < a)

.
Mivel a feladat szerint

c < a

, azért a kedvező esetek:

\begin{matrix} a = 2 & c = 1 & (1 eset) \\ a = 4 & c = 1, 2, 3, & (3 eset) \\ a = 5 & c = 1, 2, 3, 4, & (4 eset) \\ a = 8 & c = 1, 2, ...,7, & (7 eset) \\ a = 6 & c = 3 & (1 eset) \end{matrix}

A kedvező esetek száma tehát (

b

-től függetlenül)

16

. A lehetséges esetek száma pedig (ismét

b

-től függetlenül)

V_{9}^{2} = 9 \cdot 8

, és így annak valószínűsége, hogy egy kísérlet esetén a feladat feltételei teljesüljenek

\begin{matrix} v_{b} = \frac{16}{9 \cdot 8} = \frac{2}{9} . \end{matrix}

és, hogy

5

kísérlet közül pontosan egyszer teljesüljenek

\begin{matrix} V_{b} = (\binom{5}{1}) v_{b} {(1 - v_{b})}^{4} = 5 \cdot \frac{2}{9} \cdot {(\frac{7}{9})}^{4} = \frac{10 \cdot 7^{4}}{9^{5}} \approx 0, 407. \end{matrix}

Zsombok Zoltán (Bp., IV., Könyves Kálmán g. II. o. t.)