Kezdőlap


Feladat:	193. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakos I. , Bánhidy K. , Bari J. , Bartha Gyöngyi , Behringer T. , Beke Gy. , Benkő B. , Csák J. , Csapody G. , Csapody M. , Csiszár I. , Daróczy Z. , Deres J. , Dobos Irma , Farkas L. , Forgó G. , Forgó I. , Frank Gy. , Gulácsy Sára , Györösi Péter , Harza T. , Hidas P. , Jakubovics J. , Jordán J. , Katz T. , Kelemen P. , Kereszti I. , Kiss Krisztina , Koska Gyöngyi , Kovács I. , Madarász I. , Makkai M. , Mányi L. , No Mjong Gi , Orlik Péter , Rázga T. , Réti S. , Siklósi K. , Soós T. , Surán G. , Szabados J. , Szabó A. , Szatmári Z. , Szeidl B. , Ujjady I. , Varga O. , Vásárhelyi B. , Zsárai J. , Zsombok Z.
Füzet:	1954/november, 104 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/március: 193. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek a háromszög oldalai $a$ , $b$ , $c$ , a megfelelő magasságok $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ , a kerülete $a + b + c = 2 s$ , a területe $t$ , a beírt kör sugara $ϱ$ . Bizonyítandó, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{2 ϱ} < \frac{1}{m_{a}} + \frac{1}{m_{b}} < \frac{1}{ϱ} . \end{matrix}

Mivel ismeretes, hogy

a m_{a} = b m_{b} = 2 s ϱ = 2 t

, azért egyenlőtlenségünk így írható

\begin{matrix} \frac{s}{2 t} < \frac{a}{2 t} + \frac{b}{2 t} < \frac{s}{t} . \end{matrix}

4 t

-vel szorozva

\begin{matrix} 2 s = a + b + c < 2 a + 2 b < 4 s = 2 a + 2 b + 2 c, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} c < a + b < a + b + 2 c . \end{matrix}

Ez nyilvánvalóan igaz, és mivel egyértelműen megfordítható, átalakításokat végeztünk, azért a kiindulásunk helyessége be van bizonyítva.

Győrősi Péter (Bp., IV., Könyves Kálmán g. II. o. t.)

II. megoldás: Az előbbiek alapján

\begin{matrix} \frac{1}{m_{a}} + \frac{1}{m_{b}} = \frac{a}{2 t} + \frac{b}{2 t} = \frac{a + b}{2 s ϱ} = \frac{a + b}{a + b + c} \cdot \frac{1}{ϱ} . \end{matrix}

De nyilván

\begin{matrix} \frac{a + b}{a + b + c} < 1, \end{matrix}

és (mivel

c < a + b

)

\begin{matrix} \frac{a + b}{a + b + c} > \frac{a + b}{a + b + (a + b)} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ϱ} < \frac{1}{m_{a}} + \frac{1}{m_{b}} < \frac{1}{ϱ} . \end{matrix}

III. megoldás: Induljunk ki a következő nyilvánvalóan helyes egyenlőtlenségekből

\begin{matrix} s < a + b < 2 s . \end{matrix}

Osszunk

2 t

-vel

\begin{matrix} \frac{s}{2 t} < \frac{a}{2 t} + \frac{b}{2 t} < \frac{s}{t} . \end{matrix}

De ismeretes, hogy

\begin{matrix} \frac{t}{s} = ϱ, \frac{2 t}{a} = m_{a}, \frac{2 t}{b} = m_{b} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} \frac{1}{2 ϱ} < \frac{1}{m_{a}} + \frac{1}{m_{b}} < \frac{1}{ϱ} . \end{matrix}

Orlik Péter (Bp., V., Eötvös g. II. o. t.)