Kezdőlap


Feladat:	192. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Takács Barnabás
Füzet:	1954/november, 103 - 104. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/március: 192. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A betűzést az ábra mutatja.

Legyen a háromszög kerülete

a + b + c = 2 s

. Ismeretes, hogy a derékszögű háromszögbe írt kör sugara

\begin{matrix} ϱ = \frac{a + b - c}{2} = s - c . \end{matrix}

(1)

Ismeretes továbbá (az I. oszt. tankönyvből), hogy bármely háromszögben a hozzáírt köröknek a meghosszabbított oldalakon levő érintési pontjainak távolsága a két oldal közös csúcspontjától mindkét érintési pontra nézve egyaránt

s

.
Jelen esetben azonban

a

és

b

merőlegessége miatt (mint az az ábráról leolvasható)

\begin{matrix} b + ϱ_{a} = s, vagyis ϱ_{a} = s - b, & (2) \\ a + ϱ_{b} = s, vagyis ϱ_{b} = s - a, & (3) \\ ϱ_{c} = s . & (4) \end{matrix}

Tehát (1), (2), (3) és (4) összege

\begin{matrix} ϱ + ϱ_{a} + ϱ_{b} + ϱ_{c} = 4 s - (c + b + a) = 4 s - 2 s = 2 s . \end{matrix}

Takács Barnabás (Kecskemét, Katona J. g. II. o. t.)