Feladat: 191. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartha Gyöngyi ,  Szeidl Béla 
Füzet: 1954/november, 102 - 103. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szimmetrikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1954/március: 191. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 2(1+x)4-nel (x-1) és a jobboldalt alakítsuk át polinommá

2+2x4=1+4x+6x2+4x3+x4,
azaz
x4-4x3-6x2-4x+1=0.(1)
Osszuk az egyenletet x2-tel (x0) és csoportosítsuk át a tagokat:
x2+1x2-4x-4x-6=0,
vagyis
(x2+1x2)-4(x+1x)-6=0.
Legyen x+1x=y, akkor y2=x2+1x2+2,
és így
y2-2-4y-6=0,
vagyis
y2-4y-8=0,
amiből
y1=2+23,y2=2-23.

Az első esetben
x+1x=2+23,
vagyis
x2-(2+23)x+1=0,
ahonnan
x1=1+3+3+23,x2=1+3-3+23.

A második esetben
x+1x=2-23,
azaz
x2-(2-23)x+1=0,
amiből
x3=1-3+3-23,x4=1-3-3-23.

Az x1 és x2 nyilván valós gyök, míg x3 és x4 komplex gyök, mert 3-23<0.
 

Szeidl Béla (Bp., VIIL, Apáczai Csere g. II. o. t.)
 

Megjegyzés: x3 és x4 kiszámítása nélkülözhető lett volna; mert tudjuk, hogy pozitív x-re x+1x>2, negatív x esetén tehát x+1x<-2, viszont -2<2-23<-1, mert 23=12-re, 3<12<4. Így valós x-re nem lehet x+1x=2-23.
 

II. megoldás: Az I. megoldásban (1) alatt szereplő szimmetrikus egyenlet mindkét oldalához 12x2-et adva, a baloldal teljes négyzetté válik:
x4-4x3+6x2-4x+1=12x2,
azaz
(x2-2x+1)2=12x2,
amiből
x2-2x+1=±23x.

A jobboldalon a felső előjelet tekintetbe véve:
x2-(2+23)x+1=0,azaz[x-(1+3)]2-23-3=0,
az alsó előjellel számolva
x2-(2-23)x+1=0,azaz[x-(1-3)]2+23-3=0.

Az első egyenlet gyökei tehát valósak: x1,2=1+3±23+3, a másodikéi azonban nem, mert 23>3.
 

Bartha Gyöngyi (Bp., VIII., Apáczai Csere g. I. o. t.)