Kezdőlap


Feladat:	189. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zsombok Zoltán
Füzet:	1954/november, 100 - 101. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/március: 189. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az $x = a$ , $x = b$ értékeket kizárva, az egyenlet mindkét oldalát $(x - a) (x - b)$ -vel szorozva

\begin{matrix} (x + a) (x - b) + (x - a) (x + b) = 2 (x - a) (x - b), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 2 x (a + b) = 4 a b, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = \frac{2 a b}{a + b} . \end{matrix}

Ennek csak akkor van értelme, ha

a + b \neq 0

.
Helyettesítsük be

x

ezen értékét az eredeti egyenlet jobboldalába és bővítsük a törteket

(a + b)

-vel

(a + b \neq 0)

\begin{matrix} \frac{2 a b + a^{2} + a b}{2 a b - a^{2} - a b} + \frac{2 a b + a b + b^{2}}{2 a b - a b - b^{2}} = \frac{a + 3 b}{b - a} + \frac{3 a + b}{a - b} = \frac{- a - 3 b + 3 a + b}{a - b} = \\ = \frac{2 (a - b)}{a - b} = 2, \end{matrix}

feltéve, hogy

a - b \neq 0

.
Ha

a - b = 0

, vagyis

a = b

, akkor egyenletünk

\begin{matrix} \frac{x + a}{x - a} = 1, \end{matrix}

ami ellentmondás, ha

a (= b) \neq 0

; és azonosság, ha

a (= b) = 0

. Az

a = 0

b \neq 0

(vagy fordítva) feltevés is ellentmondásra vezet:

\frac{x + b}{x - b} = 1

.
Tehát egyenletünknek

x = \frac{2 a b}{a + b}

gyöke, feltéve, hogy

a + b \neq 0

a - b \neq 0

a \neq 0

, és

b \neq 0

, vagyis a paraméterek

0

-tól különböző mennyiségek, amelyeknek abszolút értékei is különbözők.
b) Az

a = 0

b = 0

x = 0

értékeket kizárva, mindkét oldalt

a b x

-szel szorozva

\begin{matrix} c d x - a^{2} b^{2} c + a b d x = a b c^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = \frac{a b c (a b + c)}{d (a b + c)} = \frac{a b c}{d} \end{matrix}

feltéve, hogy

a b + c \neq 0

d \neq 0

és (mivel

x \neq 0

)

c \neq 0

.
Ha

a b + c = 0

, vagyis

a b = - c

, akkor egyenletünk:

\begin{matrix} - d + \frac{c^{2}}{x} + d = \frac{c^{2}}{x} \end{matrix}

azonosság.
Egyébként, ha mind a négy paraméter

0

-tól különbözik, az

x = \frac{a b c}{d}

tényleg gyök, amint erről behelyettesítéssel meggyőződhetünk.
Jobboldal:

\begin{matrix} \frac{c d}{a b} - \frac{a b c d}{a b c} + d = \frac{c d}{a b} . \end{matrix}

Baloldal:

\begin{matrix} \frac{c^{2} d}{a b c} = \frac{c d}{a b} . \end{matrix}

Zsombok Zoltán (Bp., IV., Könyves Kálmán g. II. o. t.)