Kezdőlap


Feladat:	187. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ujjady István
Füzet:	1954/november, 98 - 99. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Permutációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/február: 187. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $1 m = 1000 mm$ szakasz befedésére $x$ db $10$ fillérest és $y$ db $50$ fillérest használunk fel.
Tehát a

\begin{matrix} 19 x + 22 y = 1000 \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} x + y \geq 50 \end{matrix}

(2)

feltételeket kell pozitív egész számokkal kielégíteni.
(1)-ből

\begin{matrix} x = \frac{1000 - 22 y}{19} = 52 - y + \frac{12 - 3 y}{19} = 52 - y + 3 t, \end{matrix}

ahol

19 t = 4 - y

, vagyis

\begin{matrix} y = 4 - 19 t, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = 52 - 4 + 19 t + 3 t = 48 + 22 t, \\ x + y = 52 + 3 t . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} 48 + 22 t > 0, & (3) \\ 4 - 19 t > 0, & (4) \\ 52 + 3 t \geq 50. & (5) \end{matrix}

(3)-ból

t > - \frac{24}{11}

, (4)-ből

t < \frac{4}{19}

, (5)-ből

t > - \frac{2}{3}

.
Mindhárom egyenlőtlenséget csak a

t = 0

érték elégíti ki, tehát

\begin{matrix} x = 48, y = 4. \end{matrix}

52 pénzdarabbal ‐ melyek közül 48, ill. 4 egyenlő ‐ kell a szakaszt beborítani. Minden egyes lefedés ezen elemeknek egy ismétléses permutációja, tehát az összes lehetséges lefedések száma

\begin{matrix} P_{52}^{(48,4)} = \frac{52!}{48! 4!} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 13 \cdot 17 \cdot 25 \cdot 49 = 270 725. \end{matrix}

Úgy is okoskodhatunk, hogy a 4, (ill. 48) elem helye 52 elemnek egy-egy 4-edosztályú (ill. 48-ad osztályú) kombinációja. Általában

\begin{matrix} P_{n}^{(k, n - k)} = C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} . \end{matrix}

Ujjady István (Kecskemét, Piarista g. I. o. t.)