Kezdőlap


Feladat:	178. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dósa István , Siklósi Károly
Füzet:	1954/október, 41 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/január: 178. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A derékszögű háromszög átfogóját $c$ -vel, befogóit $a$ - és $b$ -vel, a beírt kör sugarát $ϱ$ -val jelölve bizonyítandó, hogy $c + 2 ϱ = a + b$ .
Ismeretes, hogy a háromszög területe $t = ϱ s$ , vagyis

\begin{matrix} ϱ = \frac{t}{s} = \frac{2 t}{2 s} = \frac{a b}{a + b + c}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} c + 2 ϱ = c + \frac{2 a b}{a + b + c} = \frac{a c + b c + c^{2} + 2 a b}{a + b + c} . \end{matrix}

Pythagoras tétele alapján

c^{2} = a^{2} + b^{2}

, tehát

\begin{matrix} c + 2 ϱ = \frac{a^{2} + a b + a c + a b + b^{2} + b c}{a + b + c} = \frac{a (a + b + c) + b (a + b + c)}{a + b + c} = a + b, \end{matrix}

ami bizonyítandó volt.

Siklósi Károly (Sopron, Berzsenyi g. I. o. t.)

II. megoldás: A jelöléseket megtartva, induljunk ki Pythagoras tételéből

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} - c^{2} = 2 a b, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} (a + b + c) (a + b - c) = 2 a b, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a + b - c = \frac{2 a b}{a + b + c} = \frac{4 t}{2 s} = 2 \frac{t}{s} = 2 ϱ, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} a + b = c + 2 ϱ . \end{matrix}

Dósa István (Karcag, Gábor Áron g. II. o. t.)