Kezdőlap


Feladat:	177. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Behringer T. , Beke Gy. , Benkő Bálint , Csapody M. , Csiszár I. , Deres J. , Farkas L. , Germadics V. , Geszti T. , Gulácsy Sára , Gyomlai I. , Győrösi P. , Harza T. , Hidas P. , Jakubovics J. , Jordán Gy. , Kálmán L. , Kelemen P. , Kovács I. , Leszler A. , Makkai M. , Mitnyán M. , Nagy K. , Orlik P. , Rázga T. , Réti S. , Siklósi K. , Surán G. , Szabados J. , Szeidl B. , Szilágyi B. , Udvari A. , Ujjady I. , Varga O. , Vásárhelyi B. , Zsombok Z.
Füzet:	1954/október, 40 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Terület, felszín, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/január: 177. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adott $r$ sugarú körbe írt szabályos $2 n$ -szög csúcsait összekötve a kör középpontjával, a sokszöget $2 n$ -számú egybevágó egyenlőszárú háromszögre bontottuk. Tekintsünk két szomszédos háromszög által alkotott $O P_{0} P_{1} P_{2}$ négyszöget (a betűzést az ábra mutatja).

E négyszög egyik átlója

O P_{1} = r

, másik átlója

P_{0} P_{2}

, egyrészt a körbe írt szabályos

n

-szög egy oldala:

a_{n}

, másrészt

P_{0} P_{2} ⊥ O P_{1}

, mert a háromszögek egybevágósága folytán

P_{0}

és

P_{2}

egymásnak tükörképei az

O P_{1}

egyenesre nézve.
Tehát a négyszög területe

\frac{a_{n} r}{2}

, és így a

2 n

-szög területe ennek

n

-szerese, vagyis

\begin{matrix} t_{2 n} = \frac{n a_{n} r}{2} . \end{matrix}

(1)

Mindkét oldalt

r^{2}

-tel osztva és figyelembe véve, hogy

n a_{n}

a körbe írt szabályos

n

szög

k_{n}

kerülete

\begin{matrix} \frac{t_{2 n}}{r^{2}} = \frac{k_{n}}{2 r}, \end{matrix}

(2)

ami éppen a bizonyítandó tételt fejezi ki, mert ha a két sokszög köré írt kör sugara nem is egyenlő az

\frac{a_{n}}{r}

arányszám állandó és így állandó az

\frac{n}{2} \cdot \frac{a_{n}}{r} = \frac{k_{n}}{2 r}

tört értéke is, amíg

n

állandó.
Az (1) alatti összefüggés képessé tesz bennünket, hogy

a_{n}

ismeretében, kiszámítsuk a

t_{2 n}

értékét. Ha

a_{n}

-t

r

függvényeként fogjuk fel, akkor

t_{2 n}

-t is

r

függvényeként állíthatjuk elő:

Pl. 2

a_{3}

\sqrt[]{3}

t_{6}

\frac{3 \cdot r \sqrt[]{3} \cdot r}{2}

\frac{3 \sqrt[]{3}}{2}

r^{2}

;

a_{4}

\sqrt[]{2}

t_{8}

\frac{4 \cdot r \sqrt[]{2} \cdot r}{2}

\sqrt[]{2}

r^{2}

;

a_{5}

\frac{r}{2}

\sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}}

t_{10}

\frac{5}{4}

\sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}}

r^{2}

;

a_{6}

=r,

t_{12}

r^{2}

Benkő Bálint (Sárospatak, Rákóczi g. II. o. t.)