Kezdőlap


Feladat:	174. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Décsey Julianna , Kerekes Attila
Füzet:	1954/szeptember, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/január: 174. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

\begin{matrix} {(x - a)}^{2} (b - c) + {(x - b)}^{2} (c - a) + {(x - c)}^{2} (a - b) = \\ = (x^{2} - 2 a x + c^{2}) (b - c) + (x^{2} - 2 b x + b^{2}) (c - a) + \\ + (x^{2} - 2 c x + c^{2}) (a - b) = x^{2} (b - c + c - a - b) - \\ - x (2 a b - 2 a c + 2 b c - 2 a b + 2 a c - 2 b c) + a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + \\ + c^{2} (a - b) = a^{2} (b - c) + b^{2} c - a b^{2} + a c^{2} - b c^{2} = a^{2} (b - c) + \\ + b c (b - c) - a (b^{2} - c^{2}) = (b - c) (a^{2} + b c - a b - a c) = \\ = (b - c) [a (a - c) - b (a - c)] = (b - c) (a - c) (a - b) = \\ = - (a - b) (b - c) (c - a) . \end{matrix}

Décsey Julianna (Karcag, Gábor Áron g. I. o. t.)

II. Megoldás. Fogjuk fel kifejezésünket, mint

f (x)

másodfokú függvényt. E függvények értéke az

x = a

helyen

\begin{matrix} f (a) = {(a - b)}^{2} (c - a) + {(a - c)}^{2} (a - b) = \\ = (a - b) [(a - b) (c - a) + {(c - a)}^{2}] = (a - b) (c - a) (a - b + c - a) = \\ = (a - b) (c - a) (c - b) = - (a - b) (b - c) (c - a) . \end{matrix}

Ugyanezt az értéket kapjuk, ha kiszámítjuk

f (b)

ill.

f (c)

értékét.

a

b

c

lehet 3 egymástól különböző szám, ha pedig egy másodfokú függvény három különböző helyen ugyanazt az állandó értéket veszi fel, akkor ez a függvény

x

-től függetlenül azonos a fenti állandóval. (Ez az állandó 0, ha az

a

b

és

c

számok közül kettő egyenlő).

Kerekes Attila (Pécs, Mélyfúró-techn. II. o. t.)