Kezdőlap


Feladat:	171. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csapó Zsolt , Harza Tibor
Füzet:	1954/május, 142 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/december: 171. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A feladat egyenlet alakjában:

\begin{matrix} 95 x + 74 y = 2831, \end{matrix}

ahol

x

a fiúk,

y

a leányok száma.

\begin{matrix} y = 38 - x + \frac{19 - 21 x}{74} = 38 - x + t, \\ x = \frac{19 - 74 t}{21} = - 3 t + \frac{19 - 11 t}{21} = - 3 t + u, \\ t = \frac{19 - 21 u}{11} = 1 - 2 u + \frac{8 + u}{11} = 1 - 2 u + v, \\ u = 11 v - 8. \end{matrix}

u

ezen értékét rendre visszahelyettesítve

\begin{matrix} t = 1 - 22 v + 16 + v = 17 - 21 v, \\ x = - 51 + 63 v + 11 v - 8 = - 59 + 74 v, \\ y = 38 + 59 - 74 v + 17 - 21 v = 114 - 95 v . \end{matrix}

Mivel csak pozitív egész megoldásoknak van értelmük, azért

\begin{matrix} x = - 59 + 74 v > 0, amiből v > \frac{59}{74} > 0, \end{matrix}

és

\begin{matrix} y = 114 - 95 v > 0, amiből v < \frac{114}{95} < 2, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 0 < v < 2, vagyis v = 1, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = - 59 + 74 v = 15, y = 114 - 95 v = 19. \end{matrix}

Tehát

15

fiú összesen

15 \cdot 95 = 1425 kg

-ot gyűjtött, míg

19

leány teljesítménye

19 \cdot 74 = 1406 kg

. Tehát a versenyben a fiúk győztek.

Csapó Zsolt (Kecskemét, Katona József g. II. o. t.)

II. megoldás:
Az előbbi jelölést megtartva

\begin{matrix} 74 y = 2831 - 95 x = 19 (149 - 5 x) \end{matrix}

x

és

y

úgy lehet egész, ha a baloldal is osztható

19

-cel, vagyis ‐ mivel

74

és

19

relatív prím ‐

y

osztható

19

-cel. Másrészt

y < \frac{2831}{74} < 39

, tehát

y

csak

19

vagy

38

lehet. Az utóbbi esetben

x

nem egész, de

y = 19

esetben

x = 15

. Ez tehát a feladat egyetlen megoldása.

Harza Tibor (Székesfehérvár, József A. g. II. o. t.)