Kezdőlap


Feladat:	170. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kardos Erzsébet
Füzet:	1954/május, 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/december: 170. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a középső oldalhoz tartozó magasságot $m$ -mel és ossza ez a magasság a középső oldalt $x$ és $2 - x$ részekre. (Lásd ábrát.)

Pithagoras tétele alapján
egyrészt

\begin{matrix} m^{2} = 3 - x^{2}, \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} m^{2} = 5 - {(2 - x)}^{2}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} 3 - x^{2} = 5 - {(2 - x)}^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 4 x = 2, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x = \frac{1}{2}, 2 - x = \frac{3}{2} . \end{matrix}

Tehát a magasság a középső oldalt

1 : 3

arányban osztja.

Kardos Erzzébet (Kaposvár, Munkácsy M. lg. II. o. t.)

Megjegyzés: Ha általában végezzük a számítást,

a

b

c

oldalakkal és keressük az

a

oldalon keletkező

\frac{x}{a - x}

arányt, akkor

\begin{matrix} m_{a}^{2} = b^{2} - x^{2} = c^{2} - {(a - x)}^{2}, \\ x^{2} - {(a - x)}^{2} = a (2 x - a) = b^{2} - c^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = \frac{b^{2} - c^{2}}{2 a} + \frac{a}{2} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a} \\ a - x = \frac{a}{2} - \frac{b^{2} - c^{2}}{2 a} = \frac{a^{2} - (b^{2} - c^{2})}{2 a} \end{matrix}

és így a keresett arány

\begin{matrix} \frac{x}{a - x} = \frac{a^{2} + (b^{2} - c^{2})}{a^{2} - (b^{2} - c^{2})} \end{matrix}

Figyeljük meg, hogy ez az arány bizonyosan racionális szám, ha

a^{2}

b^{2}

c^{2}

racionális, sőt ha már

a

b

c

racionális hosszúságú, akkor biztosan racionális

x

és

a - x

külön-külön is.