Kezdőlap


Feladat:	169. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jójárt Kornélia
Füzet:	1954/május, 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/december: 169. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A betűzést az ábra mutatja. A szóban forgó $A E C F$ négyszög rombusz, mert átlói egymásra merőlegesek és a négyszög az átlók metszéspontjára tükrös.

Mivel

E

A B C_{▵}

-be írt kör középpontja, azért ‐ e kör sugarát

ϱ

-val jelölve

\begin{matrix} K E = E L = L B = ϱ, \\ A L = A K = \frac{a \sqrt[]{2}}{2}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} ϱ = L B = A B - A L = a - \frac{a \sqrt[]{2}}{2} = a (1 - \frac{\sqrt[]{2}}{2}), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} ϱ^{2} = a^{2} (1 - \sqrt[]{2} + \frac{1}{2}) = a^{2} (\frac{3}{2} - \sqrt[]{2}) . \end{matrix}

A rombusz oldala Pithagoras tétele alapján

\begin{matrix} A E = \sqrt[]{A L^{2} + L E^{2}} = \sqrt[]{{(\frac{a \sqrt[]{2}}{2})}^{2} + ϱ^{2}} = \sqrt[]{\frac{a^{2}}{2} + \frac{3 a^{2}}{2} - a^{2} \sqrt[]{2}} = a \sqrt[]{2 - \sqrt[]{2}} . \end{matrix}

Tehát a keresett kerület

\begin{matrix} k = 4 \cdot A E = 4 a \sqrt[]{2 - \sqrt[]{2}}, \end{matrix}

és a keresett terület

\begin{matrix} t = A C \cdot K E = a \sqrt[]{2} \cdot ϱ = a \sqrt[]{2} \cdot a (1 - \frac{\sqrt[]{2}}{2}) = a^{2} (\sqrt[]{2} - 1) . \end{matrix}

Jójárt Kornélia (Esztergom, Dobó Katalin lg. I. o. t.)