Kezdőlap


Feladat:	165. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánhidy K. , Bartha Gyöngyi , Bayer J. , Benkő B. , Boga B. , Csapó Zs. , Csapody M. , Csete Gy. , Csiszár I. , Deseő Katalin , Fodor Mária , Frank Gy. , Frivaldszky S. , Gyomlai I. , Györösi P. , Harza T. , Hidas P. , Imre T. , Jakubovics J. , Jordán Gy. , Kozma T. , Mitnyán M. , Nagy Gy. , Orlik P. , Parlagh Gy. , Perneczky L. , Pomázi L. , Surán G. , Szabados J. , Szatmári Z. , Szeidl B. , Ulrich Z. , Ványai L. , Závody A. , Zsombok Z.
Füzet:	1954/május, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/december: 165. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az egyenlet baloldalán lévő tört számlálóját $A$ -val, nevezőjét $B$ -vel, a jobboldalon álló kifejezést $C$ -vel.

\begin{matrix} A = x^{2} + 3 x - 12 + 20 x - 4 + 8 x + x^{2} - 2 x + 1 = 2 x^{2} + 29 x - 15, \\ B = - \frac{4}{3} x + 1 + \frac{5}{2} x + 3 - x - \frac{1}{6} x = 4, \\ C = \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 3 x^{2} + 12 x + 6 x^{2} - 10 x - 10 x = \frac{7}{2} x^{2} - 5 x . \end{matrix}

Tehát egyenletünket a következő egyszerűbb alakra hoztuk:

\begin{matrix} \frac{2 x^{2} + 29 x - 15}{4} = \frac{7}{2} x^{2} - 5 x, \\ 2 x^{2} + 29 x - 15 = 14 x^{2} - 20 x, \\ 12 x^{2} - 49 x + 15 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x_{1} = \frac{49 + 41}{24} = \frac{90}{24} = \frac{15}{4}, x_{2} = \frac{49 - 41}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} . \end{matrix}

Csak olyan átalakításokat végeztünk, amelyek az egyenletek egyenértékűségét meghagyták, tehát a kapott gyökök kell, hogy kielégítsék az eredeti egyenletet. Erről behelyettesítéssel is meggyőződhetünk.
Tegyünk

x

helyébe

\frac{15}{4}

-et:

\begin{matrix} A = \frac{15}{4} (\frac{15}{4} + 3) - 4 {3 - [\frac{75}{4} - (1 - \frac{30}{4})] - \frac{{(\frac{15}{4} - 1)}^{2}}{4}} = \frac{15}{4} \cdot \frac{27}{4} - \\ - 4 {3 - [\frac{75}{4} + \frac{26}{4}] - \frac{1}{4} {(\frac{11}{4})}^{2}} = \frac{405}{16} - 12 + 101 + \frac{121}{16} = \frac{263}{8} + 89 = \\ = \frac{263 + 712}{8} = \frac{975}{8} . \\ B = 4 minden x -re. Tehát a baloldal \frac{A}{B} = \frac{975}{32} . \end{matrix}

Az egyenlet jobboldala

\begin{matrix} C = \frac{15}{8} (\frac{15}{4} + 6) {- \frac{15}{4} [- 3 (\frac{15}{4} - 4) + 2 (3 \cdot \frac{15}{4} - 5) - 10]} = \\ = \frac{15}{8} \cdot \frac{39}{4} + \frac{15}{4} [\frac{3}{4} + \frac{50}{4} - \frac{40}{4}] = \frac{585}{32} + \frac{15}{4} \cdot \frac{13}{4} = \frac{585 + 390}{32} = \frac{975}{32} . \end{matrix}

x_{2} = \frac{1}{3}

behelyettesítése:

\begin{matrix} A = \frac{1}{3} (\frac{1}{3} + 3) - 4 {3 - [\frac{5}{3} - (1 - \frac{2}{3})] - \frac{{(\frac{1}{3} - 1)}^{2}}{4}} = \\ = \frac{1}{3} \cdot \frac{10}{3} - 4 {3 - \frac{4}{3} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}) = \frac{10}{9} - 4 \cdot \frac{14}{9} = - \frac{46}{9}, \end{matrix}

és mivel

B = 4

, azért a baloldal

\frac{A}{B} = - \frac{23}{18}

\begin{matrix} C = \frac{1}{6} (\frac{1}{3} + 6) - {- \frac{1}{3} [- 3 (\frac{1}{3} - 4) + 2 (3 \cdot \frac{1}{3} - 5) - 10]} = \\ = \frac{1}{6} \cdot \frac{19}{3} + \frac{1}{3} [11 - 8 - 10] = \frac{19 - 42}{18} = - \frac{23}{18}, \end{matrix}

azaz ez a gyök is kielégíti az egyenletet.

Bartha Gyöngyi (Bp., VIII., Apáczai Csere g. I. o. t.)