Kezdőlap


Feladat:	164. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas László
Füzet:	1954/április, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/november: 164. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat úgy is fogalmazható, hogy keressük azokat az $x$ és $y$ pozitív egész számokat, amelyek kielégítik a

\begin{matrix} 13 x + 17 y = 283 \end{matrix}

(1)

egyenletet.

13 x

és

17 y

a két keresett rész.

(1)-ből

\begin{matrix} x = \frac{283 - 17 y}{13} = 21 - y + \frac{10 - 4 y}{13} = 21 - y - u, \end{matrix}

(2)

ahonnan

\begin{matrix} y = \frac{10 - 13 u}{4} = 2 - 3 u + \frac{2 - u}{4} = 2 - 3 u + v, \end{matrix}

(3)

amiből

\begin{matrix} u = 2 - 4 v . \end{matrix}

Ezen értéket visszahelyettesítve (3)-ba és (2)-be

\begin{matrix} y = 2 - 6 + 12 v + v = 13 v - 4, \end{matrix}

(4)

és

\begin{matrix} x = 21 - 13 v + 4 + 2 - 4 v = 27 - 17 v . \end{matrix}

(5)

Feladatunk értelmében

\begin{matrix} x = 27 - 17 v > 0, vagyis v < \frac{27}{17} < 2 \\ y = 13 v - 4 > 0, vagyis v > \frac{4}{13} > 0 \end{matrix}

amiből kitűnik, hogy csak

\begin{matrix} v = 1 \end{matrix}

felel meg feladatunknak.
Így

x = - 17 + 27 = 10

y = 13 - 4 = 9

, vagyis a keresett két rész

\begin{matrix} 13 x = 13 \cdot 10 = 130, és 17 y = 17 \cdot 9 = 153. \end{matrix}

Farkas László (Ózd, József Attila g. II. o. t.)