Kezdőlap


Feladat:	163. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kozma Tibor
Füzet:	1954/április, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/november: 163. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tanult algoritmus szerint eljárva

\begin{matrix} y = \frac{29 x - 123}{23} = x - 5 + \frac{6 x - 8}{23} = x - 5 + u, \end{matrix}

ahol

u

egész szám és

\begin{matrix} 6 x - 8 = 23 u, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x = \frac{23 u + 8}{6} = 3 u + 1 + \frac{5 u + 2}{6} = 3 u + 1 + v, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} u = \frac{6 v - 2}{5} = v + \frac{v - 2}{5} = v + t, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} v = 5 t + 2, u = v + t = 6 t + 2, \\ x = 3 u + 1 + v = 18 t + 6 + 1 + 5 t + 2 = 23 t + 9, \\ y = x - 5 + u = 23 t + 9 - 5 + 6 t + 2 = 29 t + 6. \end{matrix}

Mivel csak a pozitív egész megoldásokat keressük, azért

23 t + 9 > 0

, amiből

\begin{matrix} t > - \frac{9}{23}, ill. 29 t + 6 > 0, ahonnan t > - \frac{6}{29} . \end{matrix}

Tehát a

t \geq 0

értékek szolgáltatják a végtelen sok megoldást.

\begin{matrix} t & 0 & 1 & 2... \\ x & 9 & 32 & 55... \\ y & 6 & 35 & 64... \end{matrix}

Megjegyzés: Gyorsabban értünk volna célhoz, ha

\begin{matrix} x = \frac{23 u + 8}{6} = 4 u + 1 + \frac{2 - u}{6} = 4 u + 1 + t -t írunk, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} u = 2 - 6 t, \\ x = 8 - 24 t + 1 + t = 9 - 23 t, \\ y = 9 - 23 t - 5 + 2 - 6 t = 6 - 29 t . \end{matrix}

Most a

t ≦ 0

értékek szolgáltatják a pozitív megoldásokat.

Kozma Tibor (Győr, Czuczor G. gimnázium I. o. t.)