Kezdőlap


Feladat:	162. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bari J. , Beregi P. , Csapody M. , Csiszár I. , Csuthi B. , Deseő Katalin , Forgó G. és I. , Frank Gy. , Györösi P. , Hidas P. , Jakubovics J. , Katz T. , Kelemen P. , Kovács I. , Kozma T. , Makkai Mihály , Orlik P. , Rázga T. , Réti S. , Rudolf P. , Siklósi K. , Surán G. , Székely Z. , Takács I. , Ujjady I. , Ványai L. , Zsombok Z.
Füzet:	1954/április, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/november: 162. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Ha a korongot visszatesszük, akkor a lehetséges esetek száma $l = V_{10}^{i,3} = 10^{3}$ . Kedvező esetek a $0 + 5 + 5$ , $1 + 4 + 5$ , $2 + 3 + 5$ , $2 + 4 + 4$ és $3 + 3 + 4$ esetek permutációi. Az első csoport minden egyes permutációja azonban $5$ -féleképpen jöhet ki, mert $5$ jeltelen korong van. Tehát a kedvező esetek száma $k = 5 \cdot P_{3}^{2} + P_{3} + P_{3} + P_{3}^{2} + P_{3}^{2} = 7 \cdot 3 + 2 \cdot 3! = 21 + 12 = 33$ . Tehát a keresett valószínűség

\begin{matrix} v_{a} = \frac{k}{l} = \frac{33}{1000} = 0, 033. \end{matrix}

b) Ha a korongokat nem rakjuk vissza, akkor a lehetséges esetek száma (mivel ismétlődés nem fordulhat elő, az

5

jeltelen korongot egymástól megkülönböztetjük)

l = V_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

. A kedvező esetek száma most már csak az

1 + 4 + 5

és

2 + 3 + 5

permutációi, vagyis

k = 2 \cdot P_{3} = 2 \cdot 3! = 12

. Tehát a keresett valószínűség

\begin{matrix} v = \frac{k}{l} = \frac{12}{720} = \frac{1}{60} \approx 0, 017 \end{matrix}

A b) esetben egyszerűbben, kombinációkkal dolgozhatunk

\begin{matrix} l = C_{10}^{3} = (\binom{10}{3}) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120, k = 2, \end{matrix}

és így a keresett valószínűség

\begin{matrix} v = \frac{k}{l} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60} . \end{matrix}

Makkai Mihály (Bp., V., Eötvös József g. I. o. t.)