Feladat: 160. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bucséter István ,  Deseő Katalin ,  Gelencsér László 
Füzet: 1954/április, 111 - 112. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Terület, felszín, Trapézok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/november: 160. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A betűzést az 1. ábra mutatja.

 
 
1. ábra
 

AF=FD és feltéve, hogy DC<AB, a CC1(|AD) szakasz C1 végpontja az AB oldalra (és nem annak meghosszabbítására) esik. Ha F1 a CC1 szakasz felezőpontja, akkor az FF1B törtvonal nyilván felezi a trapéz területét. Ha az F1 pontot eltoljuk az FB-vel párhuzamosan, míg a BC szár G pontjába kerül, akkora BFF1▵ területe egyenlő a BFG▵ területével, vagyis az ABGF négyszögterülete megegyezik az ABF1F négyszög területével, amely az előbbiek szerint a trapéz fele. Tehát FG a keresett megoldás. Adott F esetén mindig van egy és csakis egy megoldás.
 

Bucséter István (Keszthely, Vajda János g. I. o. t.)

 

II. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. A betűzést a 2. ábra mutatja.
 
 
2. ábra
 

Mivel FG az ADG▵ súlyvonala, azért az AFG▵ területe egyenlő a DFG▵ területével, amiből következik, hogy
ABG▵  területe  =CDG▵területével  ,
azaz am1=cm2, vagyis c:a=m1:m2=BG:GC.
Tehát ha a trapéz BC szárát c:a arányban osztjuk, megkapjuk a keresett G pontot.
 

Deseő Katalin (Bp., X., I. László g. II. o. t.)

 

III. megoldás: A trapézt igen egyszerűen átalakíthatjuk olyan háromszöggé, amelynek egyik csúcsa az adott F és e csúccsal szemben fekvő oldal A'D' a BC oldal hordozóján van (3. ábra).
 
 
3. ábra
 

Nem kell egyebet tenni, mint az A és D pontokat az FB ill. FC egyenesekkel párhuzamosan eltolni a BC egyenesen fekvő A' ill. D' pontokba. Az A'D' szakasz felezőpontja lesz a keresett G pont.
 

Gelencsér László (Pannonhalmi g. II. o. t.)

 

Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a III. megoldás minden változtatás nélkül alkalmazható, ha F helyett az AD oldal bármely pontját vesszük, az első kettő azonban nem.