Kezdőlap


Feladat:	158. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csapody M. , Csiszár I. , Germadics V. , Harza T. , Jordán Gy. , Kozma T. , Makkai M. , Morelli Klára , Orlik P. , Parlagh Gy. , Perneczky L. , Rázga T. , Rudolf P. , Szabados J. , Závody A. , Zsombok Zoltán
Füzet:	1954/április, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímtényezős felbontás, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/november: 158. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keresett számlálót $x^{2}$ -tel. Mivel $x$ nem teljes hatvány, azért van törzstényezői között olyan, amelynek kitevője nem osztható $3$ -mal. Az ilyen törzstényezők szorzatát $b$ -vel jelölve $x = a^{3} b$ alakban írható, ahol $a$ és $b$ relatív prím számok és $b \neq 1$ .
De $a \neq 1$ természetesen szintén fennáll, mert egyszerűsetés után teljes köbszámot kell kapni, ami $a = 1$ esetén lehetetlen. Tehát feltételeinknek csak olyan számláló felel meg, amely $a^{6} b^{2}$ alakban írható, hol $a$ és $b$ relatív prím, $b$ nem teljes köb és $a \neq 1$ , $b \neq 1$ .
Az ilyen alakú számláló viszont mindig megfelel.
Mert ha $a$ nem teljes hatvány, akkor elég nevezőként az $a^{3} b^{6} c^{6}$ szorzatot választani, hol $b$ és $c$ , valamint $a$ és $c$ relatív prím, $c$ nem teljes négyzet, de elég nagy, hogy a tört értéke $1$ -nél kisebb legyen.
Ugyanis

\begin{matrix} \frac{a^{6} b^{2}}{a^{3} b^{6} c^{6}} = \frac{{(a^{3} b)}^{2}}{{(a b^{2} c^{2})}^{3}} = \frac{a^{3}}{b^{4} c^{6}} = \frac{a^{3}}{{(b^{2} c^{3})}^{2}} . \end{matrix}

Ha pedig

a

teljes hatvány, akkor írjuk

a

-t

m \cdot n

alakban (ahol esetleg

m = n

) s válasszuk nevezőként az

m^{3} n^{6} b^{6} c^{6}

szorzatot. Ez esetben

\begin{matrix} \frac{m^{6} n^{6} b^{2}}{m^{3} n^{6} b^{6} c^{6}} = \frac{{(m^{3} n^{3} b)}^{2}}{{(m n^{2} b^{2} c^{2})}^{3}} = \frac{m^{3}}{b^{4} c^{6}} = \frac{m^{3}}{{(b^{2} c^{3})}^{2}} . \end{matrix}

Tehát feladatunk megoldásai mindazok a

6

-jegyű számok, amelyek

\begin{matrix} a^{6} b^{2} \end{matrix}

alakúak, hol

a

és

b

relatív prím,

a \neq 1

b \neq 1

, és

b

nem teljes köb.
Mivel a feltétel szerint

\begin{matrix} 10^{5} < a^{6} b^{2} < 10^{6}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} 316 < a^{3} b < 1000, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{316}{a^{3}} < b < \frac{1000}{a^{3}} . \end{matrix}

a = 2

, akkor

39 < b < 125

, és mivel ezen határok között

42

páratlan

b

található, melyek közül egy sem teljes köb, azért

a = 2

esetén

b = 41,43, ... 123

(42 megoldás),

Ugyanúgy nyerjük

a = 3

esetén

b = 13,14,16,17,19, ... 35,37

(17 megoldás),

a = 4

esetén

b = 5,7,9,11,13,15

(6 megoldás),

a = 5

esetén

b = 3,4,6,7

(4 megoldás),

a = 6

esetén nincs megfelelő

b

, mert

2

3

, és

4

nem

relatív prím

6

-hoz. (0 megoldás),

a = 7

esetén

b = 2

(1 megoldás).

a > 7

esetén már nem találunk megoldást. Tehát az összes megoldások száma:

70

Zsombok Zoltán (Bp. IV., Könyves Kálmán g. II. o. t.)