Kezdőlap


Feladat:	152. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Harza Tibor , Jójárt Kornélia
Füzet:	1954/április, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/október: 152. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: $p^{2} - 1 = (p - 1) (p + 1)$ . Mivel $p$ $3$ -nál nagyobb páratlan szám, ezért $p - 1$ és $p + 1$ két egymásután következő páros szám, tehát egyikük osztható $4$ -gyel is, szorzatuk pedig osztható $8$ -cal. Másrészt $p - 1$ , $p$ és $p + 1$ három egymásután következő szám, tehát egyikük osztható $3$ -mal, de $p$ a feltétel szerint nem lehet $3$ -mal osztható, ezért szükségképpen a másik két tényező egyike osztható $3$ -mal. Mivel $8$ és $3$ relatív prím, ezért $p^{2} - 1$ osztható $8 \cdot 3 = 24$ -gyel.

Harza Tibor (Székesfehérvár, József A. g. II. o. t.)

II. megoldás:

p

páratlan, tehát

2 k + 1

alakú, vagyis

p^{2} - 1 = (2 k + 1) - 1 = 4 k^{2} + 4 k = 4 k (k + 1)

, de

k

és

k + 1

közül az egyik feltétlenül páros, és így

p^{2} - 1

osztható

8

-cal.
Másrészt

p

nem osztható

3

-mal, vagyis

p = 3 l \pm 1

alakú,

p^{2} - 1 = 9 l^{2} \pm 6 l = 3 l (3 l \pm 2)

, vagyis

p^{2} - 1

osztható

3

-mal stb., mint az I. megoldásban.

Jójárt Kornélia (Esztergom, Dobó Katalin lg. I. o. t.)

Megjegyzés: Mindkét megoldásban csak azt használtuk ki, hogy

p

3

-mal nem osztható páratlan szám, tehát többet bizonyítottunk be, mint a feladat megkövetelt.