Feladat: 140. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bártfai P. ,  Beleznay F. ,  Biczó G. ,  Csiszár I. ,  Forgó G. ,  Kálmán Gy. ,  Kirz J. ,  Kovács István ,  Krammer G. ,  Lábos E. ,  Lackner Györgyi ,  Quittner P. ,  Rázga T. ,  Tarlacz L. ,  Tolnai T. ,  Uray L. ,  Zsombok Zoltán 
Füzet: 1954/február, 42 - 43. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/május: 140. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük az adott szakaszt egységnek. Ismeretes, hogy egy egyenlő oldalú háromszögben levő bármely P pontnak az oldalaktól való távolságának összege egyenlő a háromszög magasságával. Eszerint egy egységnyi magasságú szabályos háromszög belsejében felvett bármely P pont szolgáltatja az egységnek egy három részre bontását (1. ábrát):

x+y+z=1,(1)
ahol x, y, z jelentik rendre a P-nek távolságát az a, b, c oldalaktól.
 
 

Megfordítva, bármely x, y, z felbontásnak, amely kielégíti az (1) alatti feltételt, megfelel egy és csakis egy P pont a háromszög belsejében. Tehát a lehetséges terület az ABC területe: t.
Az x, y, z részekből akkor lehet háromszöget szerkeszteni, ha bármely két érték összege nagyobb a harmadiknál, vagyis
x<12,y<12ész<12(2)

Azok a P pontok, amelyekhez tartozó x, y, z értékek eleget tesznek a (2) alatti feltételeknek, a szabályos háromszög oldalfelező pontjai által meghatározott ‐ az ábrában sráfozott ‐A1B1C1Δ belsejében feküsznek.
A kedvező területe tehát t4 s így a keresett valószínűség
v=t4t=14.
 

Zsombok Zoltán (Bp., IV., Könyves Kálmán g. I. o. t.)