Kezdőlap


Feladat:	138. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási Lajos , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beke Gy. , Benkő B. , Béres I. , Biczó Géza , Deseő Katalin , Edöcsény L. , Fuchs T. , Harza T. , Kálmán Gy. , Krammer G. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Pátkai Gy. , Quittner P. , Razga T. , Roboz Ágnes , Székely T. , Szentai E. , Takács J. , Tolnai T. , Tóth Ágota , Uray L. , Zsombok Z.
Füzet:	1954/január, 11 - 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/május: 138. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$290 304 = 2^{9} \cdot 3^{4} \cdot 7$ .
1) $a^{2} - 1 = (a - 1) (a + 1)$ . Mivel $a$ páratlan, azért $a - 1$ és $a + 1$ két egymásután következő páros szám, melyek közül az egyik 4-gyel is osztható. Tehát $a^{2} - 1$ osztható $2 \cdot 2^{2} = 2^{3}$ -nal. Továbbá $a - 1$ , $a$ , $a + 1$ három egymásután következő szám, melyek közül az egyik feltétlenül osztható 3-mal, de a feltétel szerint $a$ nem lehet osztható 3-mal, tehát a másik két tényező egyike osztható 3-mal. Mivel $2^{3}$ és 3 relatív szám, azért $a^{2} - 1$ osztható $2^{3} \cdot 3$ -mal és így

\begin{matrix} (a^{2} - 1) (b^{2} - 1) osztható 2^{6} \cdot 3^{2} -nel . \end{matrix}

a^{6} - b^{6} = (a^{2} - b^{2}) (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4})

. Mivel

a

és

b

sem 2-vel, sem 3-mal nem osztható, ezért

a = 6 p \pm 1

b = 6 q \pm 1

alakú és így

\begin{matrix} a^{2} - b^{2} = {(6 p \pm 1)}^{2} - {(6 q \pm 1)}^{2} = 36 (p^{2} - q^{2}) \pm 12 (p - q) = \\ = 12 [3 (p + q) \pm 1] (p - q) . \end{matrix}

p - q

páros,

a^{2} - b^{2}

osztható

12 \cdot 2 = 24

-gyel, ha

p - q

páratlan, akkor

3 (p + q) \pm 1

páros, vagyis

a^{2} - b^{2}

ez esetben is osztható 24-gyel. Tehát

\begin{matrix} a^{6} - b^{6} feltétlenül osztható 2^{3} -nal . \end{matrix}

a^{6} - b^{6} = (a^{2} - b^{2}) (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}) = (a^{2} - b^{2}) [{(a^{2} - b^{2})}^{2} + 3 a^{2} b^{2}]

. Mivel a feltétel szerint

a = 3 p \pm 1

és

b = 3 q \pm 1

alakú, azért

a^{2} = 9 p^{2} \pm 6 p + 1 = 3 p' + 1

és

b^{2} = 3 q' + 1

alakú, vagyis

a^{2} - b^{2} = 3 (p' - q')

és így

[{(a^{2} - b^{2})}^{2} + 3 a^{2} b^{2}]

is osztható 3-mal. Tehát

\begin{matrix} a^{6} - b^{6} osztható 3^{2} -nal . \end{matrix}

4) Mivel sem

a

, sem

b

7-tel nem osztható, azért

\begin{matrix} a = 7 p \pm 1 vagy 7 p \pm 2 vagy 7 p \pm 3, \\ és b = 7 q \pm 1 vagy 7 q \pm 2 vagy 7 q \pm 3. \end{matrix}

De a binomiális tétel alapján

\begin{matrix} {(7 k \pm 1)}^{6} = 7 A + 1 \\ {(7 k \pm 2)}^{6} = 7 B + 64 = 7 (B + 9) + 1 \\ {(7 k \pm 3)}^{6} = 7 C + 729 = 7 (c + 104) + 1 \end{matrix}

és így

a^{6} - b^{6} = 7 D

alakú, vagyis

\begin{matrix} a^{6} - b^{6} osztható 7 -tel . \end{matrix}

1), 2), 3) és 4) alapján

\begin{matrix} (a^{2} - 1) (b^{2} - 1) (a^{6} - b^{6}) osztható 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7 = \\ = 2^{9} \cdot 3^{4} \cdot 7 = 290 304 -gyel . \end{matrix}

Tóth Ágota (Pécs, Közg. techn. II. o. t.)

Megjegyzés: Mivel a bizonyításnál csak azt használtuk ki, hogy

a

és

b

nem osztható 2-vel, 3-mal és 7-tel, azért ‐ a 7-nél nagyobb prímszámokon kívül ‐ ezen feltételeknek eleget tevő összetett számokra is igaz állításunk. Tehát többet bizonyítottunk, mint a feladat megkövetelt.

Biczó Géza (Bp., II., Rákóczi g. II. o. t.)