Feladat: 136. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási L. ,  Balogh Erzsébet ,  Bártfai P. ,  Beke Éva és Mária ,  Beke Gy. ,  Beleznay F. ,  Beliczky G. ,  Benkő B. ,  Béres I. ,  Biczó G. ,  Csiszár I. ,  Deseő K. ,  Edöcsény Z. ,  Fehér Z. ,  Forgács G. ,  Forgó G. ,  Fuchs T. ,  Gyenes T. ,  Harza T. ,  Kálmán Gy. ,  Katona P. ,  Kirz J. ,  Kovács István ,  Krammer G. ,  Kulcsár Zs. ,  Lábos E. ,  Lackner Györgyi ,  Orlik P. ,  Orosz A. ,  Pasitka B. ,  Pátkai Gy. ,  Pázmándy Gy. ,  Pölöskei I. ,  Quittner P. ,  Razga T. ,  Szabó E. ,  Székely T. ,  Szendrei I. ,  Szentai E. ,  Takács J. ,  Tarlacz L. ,  Tolnai T. ,  Uray L. ,  Vértes P. ,  Zsombok Z. 
Füzet: 1954/január, 8 - 9. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/május: 136. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a P-től távolabb fekvő egyenest a-val és legyen P távolsága a-tól a0, b-től b0, akkor a két párhuzamos egyenes egymástól való távolsága d=a0-b0, ill. a0+b0 aszerint, amint a P pont az a és b által meghatározott síksávon kívül (1. ábra) vagy belül van (2. ábra). (Ez utóbbi eset egyébként a b egyenesnek a P ponton át való tükrözésével visszavezethető előbbire.)

 
 
1. ábra
 
 
2. ábra
 

Húzzunk P-n át tetszőleges egyenest, ennek az a és b-t A* ill. B* pontokban metszi. Az A pontból mérjük vissza a PB* távolságot és az így nyert pontot jelöljük Q-val. Q-nak merőleges vetülete a-n legyen Q' és P-nek merőleges vetülete b-n legyen P'. A PP'B* és QQ'A* derékszögű háromszögek egybevágóak, mert átfogójuk a feltétel szerint egyenlő és B*∢=A*∢, mint megfelelő (1. ábra), ill. váltószög (2. ábra). Tehát
b0=PP'=QQ',
vagyis a Q pont távolsága a-tól ‐ a tetszőleges egyenes irányától függetlenül ‐ állandóan b0. Azon Q pontok mértani helye, amelyekre PQ=PA-BB, tehát egy q egyenes, amely a-tól b0 és P-től a0-b0 távolságra van. A keresett egyenesen PQ=d tehát a P körül d sugárral rajzolt kör metszi ki a q egyenesből a Q1 és Q2 pontokat, amelyeknek P-vel való összekötése szolgáltatja a megoldást. 2, 1 vagy 0 megoldás van aszerint, amint d⋛a0-b0>0
a0-b0=0esetén aqegyenes aQ≡Pponttá fajul.
Ez esetben tehát nincsen megoldás, hacsak d nem egyenlő nullával, amely utóbbi esetben viszont minden P-n átmenő egyenes megoldás.