Kezdőlap


Feladat:	135. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási Z. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beke Gy. , Beleznay F. , Beliczky G. , Csiszár I. , Harza Tibor , Kálmán Gy. , Lackner Györgyi , Orosz Á. , Rázga Tamás , Székely T. , Szendrei I. , Szentai Endre , Zsombok Z.
Füzet:	1954/január, 7 - 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Érintősokszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/május: 135. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a megfelelő oldalpárok távolságát $d$ -vel. ( $d$ pozitív vagy negatív, aszerint, amint a párhuzamosokat a sokszögön kívül, ill. belül húzzuk.) Tegyük fel, hogy a két sokszög hasonló, akkor ‐ az oldalak párhuzamossága miatt ‐ egyúttal hasonló helyzetűek is, tehát van hasonlósági pontjuk. Ha ennek távolsága az eredeti sokszög oldalaitól $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ , $...$ , $r_{n}$ , akkor az új sokszög oldalaitól $r_{1} + d$ , $r_{2} + d$ , $...$ , $r_{n} + d$ . A hasonlósági pont tulajdonságaiból következik, hogy

\begin{matrix} \frac{r_{1} + d}{r_{1}} = \frac{r_{2} + d}{r_{2}} = ... = \frac{r_{n} + d}{r_{n}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} r_{1} = r_{2} = ... = r_{n} = r . \end{matrix}

Tehát az eredeti sokszöghöz találtunk egy olyan pontot, amely minden oldaltól egyenlő távolságra van, másszóval: a hasonlóság fennállásának szükséges feltétele, hogy az eredeti sokszög érintősokszög legyen.
De a feltétel elégséges is, mert hiszen az eredeti sokszöget a beírt kör középpontjából, mint hasonlósági centrumból,

\frac{r + d}{r}

arányban nagyítva, ill. kicsinyítve, mindenkor megkaphatjuk a feltételeinknek megfelelő másik sokszöget.

Rázga Tamás (Bp., II., Rákóczi g. II. o. t.)

II. megoldás: A fenti kiindulást és jelöléseket megtartva, a feltételezett hasonlóságból következik, hogy a megfelelő csúcspontokat összekötő egyenesek egy ponton, a hasonlósági ponton mennek át. De a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek az adott sokszög szögfelezői, mert a második sokszög minden csúcspontja ‐ a sokszög keletkezésénél fogva ‐ egyenlő távolságra (

d

) van az eredeti sokszög két-két szomszédos oldalától. Az összes szögfelezők közös pontja azonban nem egyéb, mint a sokszögbe írt kör középpontja, vagyis az adott sokszög szükségképpen érintősokszög.

Harza Tibor (Székesfehérvár, József Attila g. I. o. t.)

Megjegyzés: Mindkét bizonyítás érvényes konkáv sokszögre is, csak ilyenkor a beírt kör a konkáv szög szárait meghosszabbításukban érinti.