Kezdőlap


Feladat:	94. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Bakó L. , Bártfai P. , Bauer P. , Beke Éva és Mária , Beke Gy. , Beleznay F. , Beliczky G. , Biczó G. , Bolyácz J. , Boros P. , Bp. XVI. Corvin Mátyás g. , Csiszár I. , Czili Gy. , Dominyák I. , Dömötör L. , Esztergom, I. István g. , Gulácsy Sára , Gutai L. , Harza T. , Hatvani D. , Huj Klára , Jármay Erzsébet , Kálmán Gy. , Kása I. , Kertész Á. , Komjátszegi L. , Koszolya L. , Kovács István , Kovács Klára , Krakóczky F. , Krammer G. , Kunszentmiklós, Damjanich g. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Madarász I. , Maly Gy. , Mészáros F. , Orlik P. , Pátkai Gy. , Perniczky László , Pintér L. , Quittner P. , Reichmann R. , Roboz Ágnes , Rozgonyi E. , Szélba L. , Szendrei I. , Szentai E. , Szerb Márta , Szigeti J. , Szlanka I. , Szombathely, Nagy Lajos g. , Takács J. , Tanyi T. , Tarlacz L. , Tiszaföldvár, Hajnóczy József g. , Tolnai T. , Uray L. , Vajna Zs. , Váli G. , Világhy T.
Füzet:	1953/október, 45 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Trapézok, Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/december: 94. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A trapéz szárát $b$ -vel jelölve, területe

\begin{matrix} t = \frac{a + c}{2} \cdot m = \frac{a + c}{2} (b - c) . \end{matrix}

(1)

Pythagoras tétele alapján

\begin{matrix} b^{2} = {(b - c)}^{2} + {(\frac{a - c}{2})}^{2}, \end{matrix}

(2)

ahonnan

\begin{matrix} 2 b c = c^{2} + \frac{{(a - c)}^{2}}{4}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} b = \frac{c}{2} + \frac{{(a - c)}^{2}}{8 c}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} b - c = \frac{{(a - c)}^{2}}{8 c} - \frac{c}{2} = \frac{a^{2} - 2 a c - 3 c^{2}}{8 c} = \frac{(a + c) (a - 3 c)}{8 c} . \end{matrix}

(3)

b - c

ezen értékét (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} t = \frac{a + c}{2} \cdot \frac{(a + c) (a - 3 c)}{8 c} = \frac{{(a + c)}^{2} (a - 3 c)}{8 c} . \end{matrix}

Mivel

t

csak pozitív lehet, azért a megoldhatóságnak szükséges feltétele, hogy

a - 3 c > 0

, vagyis

a > 3 c

. De ez a feltétel elégséges is, mert ha

a > 3 c

, akkor (3) szerint

b - c

is pozitív, vagyis létezik (2) alapján olyan derékszögű háromszög, melynek befogói

\frac{a - c}{2}

és

b - c

, átfogója

b

, de ez egyértelmű a trapéz létezésével.
Ha

c = \frac{a}{6}

, akkor a trapéz területe

\begin{matrix} T = \frac{{(\frac{7 a}{6})}^{2} \frac{a}{2}}{\frac{8 a}{3}} = \frac{49 a^{3}}{72} \cdot \frac{3}{8 a} = \frac{49 a^{2}}{192} . \end{matrix}

Perniczky László (Kaposvár, Táncsics g. I. o. t.)