Feladat: 84. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási L. ,  Bacsó N. ,  Bakó L. ,  Balogh Gy. ,  Balogh J. ,  Balogh Szabó L. ,  Bártfai P. ,  Bayer J. ,  Beke Éva és Mária ,  Beke Gy. ,  Beleznay Ferenc ,  Beliczky G. ,  Berár I. ,  Béres István (Mezőtúr) ,  Biczó G. ,  Biszterszki Sára ,  Csál A. ,  Csiszár I. ,  Csomós F. ,  Czili Gy. ,  Daróczi Dezső ,  Deseő Katalin ,  Döbrösy A. ,  Dömötör L. ,  Frivaldszky J. ,  Fuchs T. ,  Gecse Klára ,  Győrffy B. ,  Gödényi I. ,  Haász Anna ,  Harza T. ,  Hatvani D. ,  Hetényi I. ,  Hoschke Á. ,  Huj Klára ,  Huszka F. ,  Ivanyos A. ,  Jármay Erzsébet ,  Jávor Gy. ,  Jermi Gy. ,  Kálmán Gy. ,  Katona P. ,  Kecskeméti I. ,  Kertész Á. ,  Korompay Valéria ,  Kovács István ,  Kovács S. ,  Krammer G. ,  Kucsoray Éva ,  Lábos E. ,  Lászlóffy A. ,  Leszler A. ,  Ligeti B. ,  Makai Gy. ,  Markos Katalin ,  Mátis L. ,  Mészáros L. ,  Morelli Klára ,  Morva Teréz ,  Németh Zsuzsanna ,  Orosz A. ,  Palkovics V. ,  Pasitka B. ,  Pátkai Gy. ,  Pázmándy Gy. ,  Pintér L. ,  Pődör I. ,  Quittner P. ,  Radnai J. ,  Roboz Ágnes ,  Sas G. ,  Spellenberg S. ,  Szabó E. ,  Szabó I. ,  Szélba L. ,  Szendrei I. ,  Szerb Márta ,  Szlanka I. ,  Szücs I. ,  Takács J. ,  Takács T. ,  Tanyi T. ,  Tar Erzsébet ,  Tarlacz L. ,  Tárnai Erzsébet ,  Tasnády G. ,  Tatai Júlia ,  Tepliczky J. ,  Tolnai T. ,  Tóth A. ,  Tóth J. ,  Tóth L. ,  Török F. ,  Uray L. ,  Vándor G. ,  Várnay I. ,  Vértes P. ,  Világhy T. ,  Welling K. 
Füzet: 1953/szeptember, 13 - 15. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Súlyvonal, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/november: 84. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. A betűzést az 1. ábra mutatja.

 
 
1. ábra
 

A derékszög csúcspontja C rajta van az AB átfogó fölé rajzolt Thales-félkörön. Az adott sa=AA1 súlyvonal A1 végpontjának, vagyis a CB oldal felezőpontjának mértani helye ‐ ha C mozog a Thales-félkörön ‐ ennek a Thales-félkörnek a B pontból, mint hasonlósági centrumból 1:2 arányban való kicsinyítése. (Ez is felfogható Thales-félkörnek, mert hiszen C1A1 mindenkor merőleges BA1-re.) Tehát az A1 pontok mértani helye a C1B fölé mint átmérő fölé rajzolt félkör, amelynek metszése az A köré AA1=sa sugárral írt körívvel adja meg az A1 pontot. Ebből következik, hogy a megoldhatóság feltétele: AC1<sa<AB, vagyis c2<sa<c.
Legfeljebb csak 1 megoldás van, mert ha háromszöget kell szerkeszteni nem helyzetre, hanem csak alakra és nagyságra nézve, akkor az egybevágó háromszögek 1 megoldásnak számítanak.
Az A1 ponthoz hasonlóan megszerkeszthetjük közvetlenül a C pontot, ha ahelyett, hogy C-n átmenő Thales-kört a B hasonlósági centrumból 1:2 arányban kicsinyítjük, az A köré sa sugárral rajzolt kört 2:1 arányban nagyítjuk.
 

Beleznay Ferenc (Bp. V., Piarista g. II. o. t.)
 

II. megoldás: Az S súlypont az A és C1 pontokkal olyan háromszöget alkot, amelynek mind a három oldala ismeretes: AC1=c2, AS=2sa3 és C1S=sc3=c6(lévénsc=c2) (1. ábra). Az S pont birtokában a C1S egyenes metszi ki a Thales-félkörből a C pontot. (Ellenőrzés:SC=2c6,SA1=sa3). Megoldhatóság feltétele: c2-c6<2sa3<c2+c6, vagyis c2<sa<c.
 

Huj Klára (Bp., I. Fürst S. g. II o. t.)
 

III. megoldás: A háromszöget A1 körül tükrözve (2. ábra), nyerjük az ABA*C paralelogrammát, amelynek átlója AA*=2sa, A*C oldala egyenlő az adott c-vel és a BC átló és AC oldal szöge 90.
 
 
2. ábra
 

Ennek alapján a szerkesztés menete: Felvesszük az AA*=2sa szakaszt. Ennek felezőpontja A1. AA1 fölé rajzolt Thales-félkörnek a metszése az A* középpontú és c sugarú körívvel szolgáltatja a C pontot. C-nek A1-re vonatkozó tükörképe adja a B csúcspontot. A megoldhatóság feltétele: sa<c<2sa, vagyis c2<sa<c.
 

Daróczi Dezső (Csongrád, Bacsányi János g. II. o. t.)