Kezdőlap


Feladat:	83. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási L. , Balogh J. , Biczó G. , Csiszár Imre , Deseő Katalin , Frivaldszky J. , Fuchs T. , Kálmán György , Katona P. , Pátkai Gy. , Quittner P. , Szélba L. , Szerb Márta , Szűcs I. , Tarlacz L. , Tepliczky J. , Tolnai T. , Uray L.
Füzet:	1953/május, 144 - 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt háromszög, Vetítések, Permutációk, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/november: 83. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltételezzük, hogy az adott két háromszögnek nincsenek párhuzamos oldalai. Az $X' Y' Z'_{▵}$ csúcspontjain át húzunk az $A B C_{▵}$ $a$ , $b$ és $c$ oldalaival párhuzamos egyeneseket. Minden csúcsponton $3$ ilyen párhuzamos egyenes megy át: $a_{x}$ , $b_{x}$ , $c_{x}$ ; $a_{y}$ , $b_{y}$ , $c_{y}$ ; $a_{z}$ , $b_{z}$ , $c_{z}$ . Olyan háromszöget, amelynek egy-egy oldalán vannak az $X' Y' Z'$ pontok (és nem a csúcspontokon) csak azok az $a$ , $b$ , $c$ hármasok alkotnak, amelynek indexei az $x$ , $y$ , $z$ elemeknek egy permutációja: $a_{x}$ , $b_{y}$ , $c_{z}$ ; $a_{x}$ , $b_{z}$ , $c_{y}$ ; $a_{y}$ , $b_{x}$ , $c_{z}$ ; $a_{y}$ , $b_{z}$ , $c_{x}$ ; $a_{z}$ , $b_{x}$ , $c_{y}$ ; $a_{z}$ , $b_{y}$ , $c_{x}$ . Tehát összesen $3! = 6$ háromszöget kapunk, amelyek mind hasonlók és hasonló fekvésűek az adott $A B C_{▵}$ -höz.
Mivel minden egyes iránnyal az $X'$ , $Y'$ és $Z'$ csúcspontokon át húzott $3$ párhuzamos közül, mindig van $2$ szélső, mely nem metszi az $X' Y' Z'$ háromszöget és van mindig $1$ középső, amely szükségképpen metszi a háromszöget, azért a szóban forgó $9$ egyenes közül mindig van $3$ és csakis $3$ metsző és pontosan $6$ nem metsző.

Ezen

6

nem metsző egyenes eloszlása csúcspontok szerint csakis a következő háromféle lehet:

2

2

2

(1. ábra),

1

2

3

(2. ábra) és

0

3

3

(3. ábra) és ennek megfelelően találunk a

6

háromszög között

2

1

ill.

0

olyan háromszöget, amelyek az

X' Y' Z'_{▵}

-et területileg magába foglalják, vagyis amelyekben, az

X'

Y'

Z'

pontok kivétel nélkül egy-egy háromszög oldalon ‐ és nem a meghosszabbításon ‐ vannak.
Tegyük fel, hogy

2

ilyen háromszöget találunk:

A'_{1} B'_{1} C'_{1 ▵}

és

A'_{2} B'_{2} C'_{2 ▵}

(1. ábra). Ezekben a körüljárás iránya nyilván mindenkor egymással ellenkező. Ha a két háromszöget az

X' Y' Z'_{▵}

-gel együtt a

H_{1}

külső hasonlósági centrumból ill.

H_{2}

belső hasonlósági középponton át

A B C_{▵}

-gé transzformáljuk, akkor az utóbbiban megkapjuk feladatunk

2

megoldását:

X_{1} Y_{1} Z_{1 ▵}

és

X_{2} Y_{2} Z_{2 ▵}

.
Tehát feladatunknak

2

1

vagy

0

megoldása van, >>a háromszöget nem metsző<<

6

egyenesnek fent említett

3

-féle eloszlása szerint. Ha a keresett háromszög csúcspontjai az adott

A B C_{▵}

oldalainak meghosszabbításán is lehetnek, akkor, mint láttuk,

6

megoldás van, amely szám csökkenhet aszerint, amint az

X' Y' Z'

körül írt

6

háromszög közül valamelyik ponttá fajul.

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. I. o. t.)

Kálmán György (Szolnok, Beloiannisz g. II. o. t.)