Feladat: 82. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bacsó N. ,  Bártfai P. ,  Biczó G. ,  Csiszár I. ,  Esztergom, Dobó K.atalin lg. ,  Esztergom, I. István g. ,  Gulácsy Sára ,  Juhász L. ,  Kálmán Gy. ,  Katona P. ,  Kiss P. ,  Korompay Valéria ,  Kunszentmiklós, Damjanich g. ,  Lackner Györgyi ,  Leszler A. ,  Quittner P. ,  Székesfehérvár, József Attila g. ,  Szélba L. ,  Szombathely, Nagy Lajos g. ,  Szűcs István ,  Takács J. ,  Tarlacz L. ,  Tóth A. ,  Tóth J. ,  Világhy T. 
Füzet: 1953/május, 143 - 144. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/november: 82. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. A betűzést az ábra mutatja.

 
 

Ha az adott félkörök sugarát r-rel, a keresett kör sugarát pedig x-szel jelöljük, akkor AE3=4r, AO=4r-x, O1O=r+x.
Pythagoras tétele alapján egyrészt O1FO▵-ból
FO2=(r+x)2-r2(1)
másrészt AFO▵-ből
FO2=(4r-x)2-(2r)2(2)
(1) és (2)-ből
(r+x)2-r2=(4r-x)2-4r2,
ahonnan
10rx=12r2,
és így
x=65r.

Tehát az O pontot megkapjuk, ha az FC egyenest az O1 (ill. O2) köré rajzolt r+x=115 sugarú körívvel, vagy A (ill. B) köré rajzolt 4r-x=145r sugarú körívvel metsszük.
Egy második, triviális megoldás: az F középpontú, 2r sugarú kör, amely a két körívet és a két félkört az A ill. B pontokban érinti.
 

Szücs István (Csongrád, Batsányi János g. II. o. t.)
 

II. megoldás: Betűzés változatlan. Zsugorítsuk össze az adott két r sugarú félkört az O1 és O2 pontokká és ugyanakkor növeljük az A és B középpontú 4r sugarú körívek sugarait r-rel. A keresett körrel koncentrikus és r-rel megnagyobbított sugarú kör át fog menni az O1 és O2 pontokon és érinteni fogja a két 5r sugarú körívet. A feladatot tehát visszavezetjük a következő Apollonius-féle feladatra: adott az O1 és O2 pont és az A köré rajzolt 5r sugarú k kör; szerkesszünk kört, amely átmegy O1 és O2-n és érinti az adott k-kört.
A szerkesztés menete: O1 és O2-n át felveszünk egy tetszőleges K középpontú k1 segédkört, melynek metszéspontjai az adott k körrel P és Q. A PQ egyenes messe az O1 O2 egyenest S-ben. Minden O1-en és O2-n átmenő körre nézve az S-ből húzott érintőszakasz négyzete =SO1⋅SO2=SP⋅SQ. Tehát a keresett körhöz szerkesztett érintőszakasz hossza egyenlő a k körhöz szerkesztett ST érintőszakasszal. Tehát T az Apollonius-féle feladatban keresett körnek és a k körnek érintési pontja. A AT centrális metszi ki FC-ből az Apollonius-féle feladatban, valamint az eredetileg keresett kör közös középpontját: O-t.
 

Larkner Györgyi (Bp., V., 1. textilip. techn. II. o. t.)
 

Megjegyzés: Természetesen nem >>szerkesztés<< egy pontonként szerkesztett ellipszisnek egy egyenessel való metszéspontjának >>megrajzolása<<. (Még mindig tömegesen érkeztek be ilyenféle helytelen megoldások.) Szerkesztésre ‐ a mértani helyek közül ‐ csak az egyenes és a kör használható fel.