Kezdőlap


Feladat:	79. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Almási L. , Aujeszki Géza , Bakó L. , Bártfai P. , Bayer J. , Beke Éva , Beke Mária , Beleznay F. , Béres István (Mezőtúr) , Biczó G. , Boros P. , Csillag Kamilla , Csiszár Imre , Csomós S. , Deseő Katalin , Dósa I. , Döbrössy A. , Forgó G. , Frivaldszky J. , Fuchs T. , Gerő A. , Haász Anna , Harza T. , Ivanyos A. , Kálmán Gy. , Katona P. , Kelemen P. , Kertész Á. , Kiss Piroska , Lackner Györgyi , Leszler A. , Morelli Klára , Orlik P. , Pátkai Gy. , Quittner P. , Radnai J. , Reichmann R. , Spellenberg S. , Tanyi T. , Tarlacz L. , Tolnai T. , Uray L. , Vértes P.
Füzet:	1953/május, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/november: 79. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: $8$ egymásután következő szám között biztosan van egy $6$ -tal osztható szám két szomszédjával együtt. Mivel előállítható $8$ (vagy akárhány) egymást követő összetett szám, azért tételünk nem igaz.
$8$ egymásután összetett számot úgy kaphatunk, hogy a természetes számsor első $9$ számának bármely közös többszöröséhez rendre hozzáadunk kettőt, hármat, $...$ , kilencet. (Pl. legyen az egyik többszörös $2520 A$ , akkor $2520 A + 6$ osztható $6$ -tal, a két szomszédja $2520 A + 5$ és $2520 A + 7$ pedig szükségképpen osztható $5$ , ill. $7$ -tel).

Csiszár Imre (Bp., I., Petőfi g. I. o. t.)

II. megoldás: Tekintsük a

6

-tal osztható számok közül azokat, amelyek

{(6 k)}^{2^{n + 1}}

alakúak, hol

k

és

n

tetszőleges természetes szám. A szomszédos számok

{(6 k)}^{2^{n + 1}} \pm 1

nyilván oszthatók

(6 k + 1)

-gyel, illetőleg

(6 k - 1)

-gyel. Ezzel kimutattuk, hogy tételünk nem igaz.

Beke Éva és Mária (Bp., XIII., 1. sz. ép. gép. techn. II. o. t.)

III. megoldás: Tekintsük a

6

-tal osztható számok közül azokat, amelyek

6 (5 \cdot 7 k + 1) = 6 \cdot 5 \cdot 7 k + 6

alakúak. Ezeknek szomszédjai:

6 \cdot 5 \cdot 7 k + 7

és

6 \cdot 5 \cdot 7 k + 5

. Ez utóbbi két szám közül az első mindig

7

-tel, a második mindig

5

-tel osztható. Tehát tételünk nem igaz.

Aujeszki Géza (Bp., II., Rákóczi g. II. o. t.)

Megjegyzés: Többen mutattak rá, hogy hamis tételünk megfordítása annak a helyes tételnek, miszerint minden

3

-nál nagyobb prímszámnak van egy

6

-tal osztható szomszédja. Bizonyítás: A szomszédos szám csak páros lehet, továbbá a két szomszédos szám közül az egyiknek még

3

-mal is oszthatónak kell lennie, mert

3

egymásután következő szám közül, az egyik feltétlenül osztható

3

-mal, már pedig az nem lehet a prímszám, mert arról feltételeztük, hogy nagyobb

3

-nál.