Kezdőlap


Feladat:	74. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Bakó L. , Bártfai P. , Bauer A. , Beke Éva és Mária , Beleznay F. , Benkő B. , Biczó G. , Boros P. , Bp. XVI., Corvin Mátyás g. , Csiszár I. , Csomos S. , Deseő Katalin , Divényi Péter , Esztergom, I. István g. , Fejes Kálmán , Forgó G. , Frivaldszky J. , Fuchs T. , Georgi F. , Gerő A. , Gödény I. , Hajduszoboszló, Irinyi János g. , Hangay Gy. , Kálmán György , Katona P. , Kiskunhalas, Szilády Áron g. , Kovács István , Krammer G. , Kunszentmiklós, Damjanich g. , Lackner Györgyi , Leszler Antal , Morelli Klára , Nagykanizsa, Irányi Dániel g. , Orlik P. , Pardavi L. , Pátkai Gy. , Plank P. , Quittner P. , Radnai J. , Reichmann R. , Roboz Ágnes , Rozgonyi E. , Szabó Z. , Szám F. , Szendrei I. , Szepesi J. , Szerb Márta , Tisza Magdolna , Vajna Zs. , Vértes P.
Füzet:	1953/április, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Oszthatóság, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/október: 74. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Egy 10-es számrendszerbeli szám általános alakja

\begin{matrix} N & = a_{2 n + 1} 10^{2 n + 1} + a_{2 n} 10^{2 n} + a_{2 n - 1} 10^{2 n - 1} + a_{2 n - 2} 10^{2 n - 2} + ... + \\ + a_{3} 10^{3} + a_{2} 10^{2} + a_{1} 10 + a_{0}, \end{matrix}

ahol az együtthatók 1-jegyű természetes számok a 0-t is beleértve (

a_{2 n + 1}

is lehet 0).

N

így is írható:

\begin{matrix} N & = a_{2 n + 1} (10^{2 n + 1} - 10 + 10) + a_{2 n} (10^{2 n} - 1 + 1) + a_{2 n - 1} (10^{2 n - 1} - 10 + 10) + \\ + a_{2 n - 2} (10^{2 n - 2} - 10 + 10) + \dots + a_{3} (10^{3} - 10 + 10) + a_{2} (10^{2} - 1 + 1) + a_{1} 10 + a_{0} = \\ = a_{2 n + 1} (10^{2 n + 1} - 10) + a_{2 n + 1} 10 + a_{2 n} (10^{2 n} - 1) a_{2 n} + a_{2 n - 1} (10^{2 n - 1} - 10) + \\ + a_{2 n - 1} 10 + \dots + a_{3} (10^{3} - 10) + a_{3} 10 + a_{2} (10^{2} - 1) + a_{2} + a_{1} 10 + a_{0} = \\ = a_{2 n + 1} 10 (10^{2 n} - 1) + a_{2 n + 1} 10 + a_{2 n} (10^{2 n} - 1) + a_{2 n} + a_{2 n - 1} 10 (10^{2 n - 2} - 1) + \\ + a_{2 n - 1} 10 + \dots + a_{3} 10 (10^{2} - 1) + a_{3} 10 + a_{2} (10^{2} - 1) + a_{2} + a_{1} 10 + a_{0} = \\ = (a_{2 n + 1} 10 + a_{2 n}) (10^{2 n} - 1) + [a_{2 n + 1} 10 + a_{2 n}] + \dots + (a_{3} 10 + a_{2}) (10^{2} - 1) + \\ + [a_{3} 10 + a_{2}] + [a_{1} 10 + a_{0}] . \end{matrix}

Mivel

(10^{2 k} - 1) = 100^{k} - 1

osztható

100 - 1 = 99

-cel, azért

N

-et 99-cel osztva annyit kapunk maradékul, amennyit a szögletes zárójelben levő tagok összegének osztásából kapunk, de ez éppen a bebizonyítandó tétel.

Kálmán György (Szolnok, Beloiannisz g. II. o. t.)

II. megoldás: Két szám ‐ egy harmadikkal osztva ‐ akkor és csak akkor ad egyenlő maradékot, ha a különbségük osztható. Tételünket tehát úgy igazoljuk, hogy az

\begin{matrix} (a_{2 n + 1} 10^{2 n + 1} + a_{2 n} 10^{2 n} + a_{2 n - 1} 10^{2 n - 1} + a_{2 n - 2} 10^{2 n - 2} + \dots + a_{3} 10^{3} + a_{2} 10^{2} + a_{1} 10 + a_{0}) - \\ - (a_{2 n + 1} 10 + a_{2 n} + a_{2 n - 1} 10 + a_{2 n - 2} + \dots + a_{3} 10 + a_{2} + a_{1} 10 + a_{0}) \end{matrix}

különbségről kimutatjuk, hogy 99-cel osztható.
A kisebbítendő tagszáma pontosan egyezik a kivonandó tagszámával (t. i.

2 n + 2

) és így a kivonást úgy végezhetjük, hogy a kisebbítendő minden egyes tagjából a kivonandónak megegyező sorszámú tagját vonjuk ki:

\begin{matrix} (a_{2 n + 1} 10^{2 n + 1} - a_{2 n + 1} 10) + (a_{2 n} 10^{2 n} - a_{2 n}) + (a_{2 n - 1} 10^{2 n - 1} - a_{2 n - 1} 10) + \dots + \\ + (a_{3} 10^{3} - a_{3} 10) + (a_{2} 10^{2} - a_{2}) . \end{matrix}

Minden egyes különbségből a második tagot kiemelve

\begin{matrix} a_{2 n + 1} 10 (10^{2 n} - 1) + a_{2 n} (10^{2 n} - 1) + a_{2 n + 1} 10 (10^{2 n - 2} - 1) + \dots + a_{3} 10 (10^{2} - 1) + \\ + a_{2} (10^{2} - 1) . \end{matrix}

Ebben az alakban nyilvánvaló, hogy a kifejezés osztható

(10^{2} - 1) = 99

-cel.

Fejes Kálmán (Debrecen, Ref. g. II. o. t.)