Kezdőlap


Feladat:	73. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Bakó L. , Balogh J. , Bártfai P. , Bauer A. , Beke Éva és Mária , Beleznay F. , Benczur Erna , Benkő B. , Béres Vera , Biczó G. , Bp. XVI., Corvin Mátyás g. , Csiszár Imre , Deseő Katalin , Dévai A. , Esztergom, I. István g. , Frivaldszky J. , Gyula, Erkel F. g. , Gödény I. , Hangay Gy. , Ivanyos A. , Kálmán Gy. , Kiskunhalas, Szilády Áron g. , Lackner Györgyi , Morelli Klára , Orosz Á. , Orosz A. , Pasitka B. , Pázmándy Gy. , Quittner P. , Radnai Judit , Reichmann R. , Roboz Ágnes , Szabó Z. , Szendrei I. , Takács T. , Tanyi T. , Török F. , Vajna Zs.
Füzet:	1953/március, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Háromszögek nevezetes tételei, Körök, Hossz, kerület, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/október: 73. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A betűzést az 1. ábra mutatja.

1. ábra

Mivel

A_{1}

B_{1}

C_{1}

a

b

c

oldalak felezőpontjai, azért

A C_{1} A_{1} B_{1}

paralelogramma. Feltételezzük, hogy

α

hegyes szög.
Tehát

\begin{matrix} B_{1} B^{*} & = B_{1} A = A_{1} C_{1} = \frac{b}{2}, \\ C_{1} C^{*} & = C_{1} A = A_{1} B_{1} = \frac{c}{2}, \end{matrix}

továbbá az

\begin{matrix} A_{1} B_{1} B^{*} ∢ = 90^{\circ} + α = A_{1} C_{1} C^{*} ∢, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} A_{1} B_{1} B^{*} ▵ ≃ A_{1} C_{1} C^{*} ▵, \end{matrix}

mert a fentiek szerint két oldal és a közbezárt szög egyenlő.
Ezen egybevágóságból viszont következik, hogy a harmadik oldal is egyenlő, vagyis

\begin{matrix} A_{1} B^{*} = A_{1} C^{*}, \end{matrix}

ami bizonyítandó volt.
Ha a fenti két egybevágó háromszög hegyes szögeit

δ

-val és

ε

-nal jelöljük, akkor a

B^{*} A_{1} C^{*} ∢ = δ + α + ε

.
De

(90 + α) + δ + ε = 180^{\circ}

, azért

δ + α + ε = 90^{\circ}

, vagyis a két távolság derékszöget zár be.

2. ábra

Teljesen hasonlóképpen bizonyíthatjuk, hogy tételeink befelé rajzolt félkörök esetén is igazak (2. ábra), csakhogy az egybevágóság bizonyításánál a két egyenlő oldal által bezárt szög (

α

-t továbbra is hegyesnek tételezve fel) most

90^{\circ} - α

hegyes szög (a

90^{\circ} + α

tompaszög helyett). Ha a másik hegyesszöget

δ

-val a tompaszöget pedig

ε

-nal jelöljük, akkor a két egyenlő távolság által bezárt szög

(ε - α) + δ

. De

(90 - α) + δ + ε = 180^{\circ}

, ezért

ε - α + δ = 90^{\circ}

.
Ha

α

derékszög, akkor a két egybevágó háromszög egyenessé fajul. Ha pedig

α

tompaszög, akkor a fenti bizonyítás lényegében változatlan, csak

α

helyett

180^{\circ} - α

, és így

90^{\circ} \pm α

helyett

270^{\circ} - α

, ill.

α - 90^{\circ}

szerepel.

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. I. o. t.)