Kezdőlap


Feladat:	71. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Almási L. , Bacsó N. , Bakó L. , Bártfai P. , Bauer A. , Beke Éva és Mária , Beleznay F. , Benkő B. , Biczó G. , Bodor J. , Boschán P. , Bp. XVI., Corvin Mátyás g. , Csernyánszky Zita , Csiszár I. , Csomos S. , Deseő Katalin , Divényi P. , Dósa I. , Döbrösy A. , Esztergom, I. István g. , Fejes K. , Fodor Mária , Forgó G. , Frivaldszky J. , Fuchs T. , Georgi F. , Gerő A. , Gödény I. , Hangay Gy. , Ivanyos A. , Kálmán Gy. , Katona P. , Kertész Á. , Kovács István , Kovács Klára , Kunszentmiklós, Damjanich g. , Lackner Györgyi , Leszler A. , Morelli Klára , Muhár I. , Nagy Mária , Nagykanizsa, Irányi Dániel g. , Orosz Á. , Orosz B. , Pardavi L. , Plank P. , Quittner P. , Radnai J. , Reichmann R. , Roboz Ágnes , S. Nagy I. , Szám F. , Szendrei I. , Szepesi J. , Tisza Magdolna , Tiszaföldvár, ált. g. , Uray L. , Vándor G. , Vértes Péter
Füzet:	1953/március, 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/október: 71. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy $10$ -es számrendszerbeli szám általános alakja

\begin{matrix} N = a_{n} 10^{n} + a_{n - 1} 10^{n - 1} + ... + a_{2} 10^{2} + a_{1} 10 + a_{0} = \\ = a_{n} (10^{n} - 1) + a_{n - 1} (10^{n - 1} - 1) + ... + a_{2} (10^{2} - 1) + a_{1} (10 - 1) + a_{n} + a_{n - 1} + ... + a_{2} + a_{1} + a_{0} . \end{matrix}

Mivel

a^{k} - b^{k}

kifejezés

k

minden poz. egész számú értéke mellett osztható

(a - b)

-vel, azért

(10^{k} - 1)

is osztható

(10 - 1) = 9

-cel minden természetes

k

esetén. Tehát fenti összeg első

n

tagja osztható

9

-cel és ennélfogva

3

-mal is, és így ha

N

-t elosztjuk

9

-cel vagy

3

-mal ugyanannyit kapunk maradékul, mintha az

a_{n} + a_{n - 1} + ... + a_{2} + a_{1} + a_{0}

összeget, vagyis a számjegyek összegét osztanók el.

Vértes Péter (Bp. V., Eötvös József g. II. o. t.)