Kezdőlap


Feladat:	69. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Bakó L. , Bártfai P. , Bauer A. , Beke Éva és Mária , Beleznay F. , Biszterszky Sára , Bokor Rózsa , Csapody G. , Csernyánszky Zita , Csiszár I. , Deseő Katalin , Frivaldszky J. , Fuchs T. , Gecse Klára , Georgi F. , Kálmán György , Lábos E. , Lackner Györgyi , Orosz B. , Pátkai Gy. , Pázmándy Gy. , Plank P. , Quittner P. , Rédly D. , Roboz Ágnes , Rozgonyi E. , Szám F. , Szepesi J. , Szlanka I. , Takács J. , Tanyi T. , Tepliczky I. , Ujszászi J. , Uray L. , Vértes P.
Füzet:	1953/március, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevező gyöktelenítése, Gyökös függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/október: 69. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük a függvény nevezőjét racionálissá

\begin{matrix} y = \frac{2 a \sqrt[]{1 + x^{2}} (x - \sqrt[]{1 + x^{2})}}{x^{2} - (1 + x^{2})} = \frac{2 a x \sqrt[]{1 + x^{2}} - 2 a (1 + x^{2})}{- 1} = 2 a (1 + x^{2} - x \sqrt[]{1 + x^{2})} \end{matrix}

(1)

x

értéke így írható:

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b}} - \frac{\sqrt[]{b}}{\sqrt[]{a}}) = \frac{a - b}{2 \sqrt[]{a b}}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x^{2} = \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{4 a b}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} 1 + x^{2} = \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{4 a b}, \end{matrix}

(2)

és

\begin{matrix} x \sqrt[]{1 + x^{2}} = \frac{a - b}{2 \sqrt[]{a b}} \cdot (\pm \frac{a + b}{2 \sqrt[]{a b}}) = \pm \frac{a^{2} - b^{2}}{4 a b} . \end{matrix}

(3)

A (2) és (3) alatti értékeket (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} y = 2 a (\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{4 a b} \mp \frac{a^{2} - b^{2}}{4 a b}) . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} y_{1} & = 2 a \frac{2 a b + 2 b^{2}}{4 a b} = \frac{2 b (a + b)}{2 b} = a + b, \\ y_{2} & = 2 a \frac{2 a^{2} + 2 a b}{4 a b} = \frac{2 a (a + b)}{2 b} = \frac{a}{b} (a + b) . \end{matrix}

Kálmán György (Szolnok, Beloiannisz g. II. o. t.)