Kezdőlap


Feladat:	68. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Almási Emma , Almási L. , Antalffy G. , Bacsó N. , Bakó L. , Balázs M. , Balogh Erzsébet , Balogh J. , Balogh Szabó L. , Bártfai P. , Bauer A. , Beke Éva és Mária , Beleznay F. , Beliczky G. , Benczur Erna , Benkő B. , Biczó G. , Biszterszky Sára , Bodor J. , Bokor Rózsa , Boros P. , Boschán M. , Buchwald P. , Csál A. , Csapody G. , Csernyánszky Zita , Csertő S. , Csiszár I. , Csomos S. , Czili Gy. , Debreczeny J. , Deseő Z. , Dévai H. , Divényi P. , Dósa I. , Döbrösy A. , Fehér Z. , Fejes K. , Fodor Mária , Forgó G. , Forgó L. , Frivaldszky J. , Fuchs T. , Gecse Klára , Georgi F. , Gerő A. , Gróf S. , Gulácsy Sára , Gyürki K. , Gyöngyös Gy. , Györffy B. , Gödény I. , Hangay Gy. , Harer J. , Hevesi J. , Ivanyos A. , Jestrebényi Mária , Kálmán Gy. , Katona P. , Kecskeméti I. , Kereskényi F. , Kertész Á. , Kiss S. , Komjátszegi L. , Kovács István , Kovács Klára , Kováts Marianne , Krammer G. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Leszler A. , Libisch R. , Molnár M. , Molnár S. , Morelli Klára , Munkácsy I. , Nagy Mária , Nyiry Ilona , Nyitray Gy. , Orlik Péter , Orosz Á. , Orosz A. , Pardavi L. , Pátkai Gy. , Pázmándy Gy. , Pintér L. , Plank P. , Pölöskey E. , Quittner P. , Radnai J. , Rédly D. , Roboz Ágnes , Rozgonyi E. , S. Nagy I. , Seiler P. , Soltész I. , Stiglitz Éva , Streitmann K. , Szabó Anna , Szabó I. , Szabó József (Szeged) , Szám F. , Szélba L. , Szendrei I. , Szepesi J. , Szerb Márta , Szita Irén , Szlanka I. , Tábori Magda , Takács J. , Takács T. , Tanyi T. , Tar Erzsébet , Tasnádi G. , Tatai Júlia , Tepliczky J. , Tisza Magdolna , Tóth A. , Tóth Antal , Török Erzsébet , Török F. , Ujszászi J. , Újvári István , Uray L. , Vadkerti Erzsébet , Vajna Zs. , Vándor G. , Varga A. , Varga Gusztáv , Várnai I. , Vértes P. , Világhy T. , Vujkovich Sarolta , Weiling K. , Weisz Edit
Füzet:	1953/március, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Rekurzív eljárások, Mértani sorozat, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/október: 68. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás (egyenlettel): Ha $x$ -szel jelöljük a tojások számát, akkor a feladat szerint az első vevő vesz $\frac{x}{2} + 1$ számú tojást és marad $\frac{x}{2} - 1$ . A második vevő vesz $\frac{1}{2} (\frac{x}{2} - 1) + 1$ tojást és marad $\frac{1}{2} (\frac{x}{2} - 1) - 1$ . A harmadik vevő vesz $\frac{1}{2} [\frac{1}{2} (\frac{x}{2} - 1) - 1] + 1$ tojást és marad $\frac{1}{2} [\frac{1}{2} (\frac{x}{2} - 1) - 1] - 1$ , ami a feladat szerint egyenlő nullával.
Tehát

\begin{matrix} \frac{1}{2} [\frac{1}{2} (\frac{x}{2} - 1) - 1] - 1 & = 0, \\ \frac{x}{4} - \frac{1}{2} - 1 & = 2, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = 14. \end{matrix}

Orlik Péter (Bp. V., Eötvös g. I. o. t.)

II. megoldás (következtetéssel): Rakjuk vissza a tojásokat a kosárba. A harmadik vevő visszarakja az utolsónak vett

1

db tojást, amely mennyiség a fele volt az általa ott talált tojásoknak, tehát még visszarak

1

tojást. A második vevő visszarakja az általa vett külön tojást és mert a kosárban lévő

3

tojás képezi a felét annak, amit a második vevő a kosárban talált, azért második vevő még

3

tojás visszatevésével kiegészíti a tojások számát

6

-ra. Az első visszarakja a vett

1

db különtojást és a kosárban lévő

7

tojás képezi az első vevő által a kosárban talált tojások felét, vagyis

14

tojás volt a kosárban.

Szabó Anna (Jászberény, Tanítóképző II. o. t.)

III. megoldás: Általában
az utolsó vétel előtt a tojások száma

2

,
az utolsó előtti vétel előtt a tojások száma

2 (2 + 1) = 2^{2} + 2 = 6

,
az ezt megelőző vétel előtt a tojások száma

2 (2^{2} + 2 + 1) = 2^{3} + 2^{2} + 2 = 14

és így tovább

⋮

n

vevő esetén az első vétel előtt a tojások száma

\begin{matrix} 2 (2^{n - 1} + 2^{n - 2} + ... + 2 + 1) = 2 (2^{n} - 1) \end{matrix}

a mértani sorozat összegképlete alapján.

Biszterszky Sára (Miskolc, 13. sz. gépip. techn. II. o. t.)

Megjegyzés: Ez a feladat tipikus példa arra (főleg, ha

3

-nál jóval több vevőre gondolunk), hogy nem mindig az egyenlet a legrövidebb út. Néha egyszerű aritmetikával gyorsabban érünk célhoz. (L. Perelman: >>Szórakoztató Algebra<< 108. oldal.)